Каталог книг

А. В. Колесниченко Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред

Перейти в магазин

Сравнить цены

Описание

Монография посвящена разработке континуальных моделей турбулизованных природных сред – моделей, лежащих в основе постановок и численных расчетов задач, связанных с образованием, структурой и эволюцией различных астро- и геофизических объектов. Стохастические модельные подходы к соответствующим задачам рассмотрены как отражение процессов самоорганизации в диссипативных открытых системах. Приведены примеры возникновения упорядоченностей в различных космических объектах и природных средах в процессе их эволюции. Для научных сотрудников, работающих в областях астрофизики, геофизики, планетологии, аэрономии и космических исследований, а также для студентов старших курсов и аспирантов соответствующих специальностей.

Характеристики

  • Форматы

Сравнить Цены

Предложения интернет-магазинов
Колесниченко А., Маров М. Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред Колесниченко А., Маров М. Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред 450 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Колесниченко А.В. Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред Колесниченко А.В. Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред 463 р. bookvoed.ru В магазин >>
А. В. Колесниченко Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред А. В. Колесниченко Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред 374 р. litres.ru В магазин >>
Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред 359 р. ozon.ru В магазин >>
А. В. Колесниченко Континуальные модели природных и космических сред. Проблемы термодинамического конструирования А. В. Колесниченко Континуальные модели природных и космических сред. Проблемы термодинамического конструирования 629 р. ozon.ru В магазин >>
А. В. Колесниченко Континуальные модели природных и космических сред: Проблемы термодинамического конструирования А. В. Колесниченко Континуальные модели природных и космических сред: Проблемы термодинамического конструирования 949 р. ozon.ru В магазин >>
Валентин Баженов Математическое моделирование нестационарных процессов удара и проникания осесимметричных тел и идентификация свойств грунтовых сред Валентин Баженов Математическое моделирование нестационарных процессов удара и проникания осесимметричных тел и идентификация свойств грунтовых сред 594 р. litres.ru В магазин >>

Статьи, обзоры книги, новости

Книга Турбулентность и самоорганизация

Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред О книге "Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред"

Монография посвящена разработке континуальных моделей турбулизованных природных сред – моделей, лежащих в основе постановок и численных расчетов задач, связанных с образованием, структурой и эволюцией различных астро- и геофизических объектов. Стохастические модельные подходы к соответствующим задачам рассмотрены как отражение процессов самоорганизации в диссипативных открытых системах. Приведены примеры возникновения упорядоченностей в различных космических объектах и природных средах в процессе их эволюции. Для научных сотрудников, работающих в областях астрофизики, геофизики, планетологии, аэрономии и космических исследований, а также для студентов старших курсов и аспирантов соответствующих специальностей.

На нашем сайте вы можете скачать книгу "Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред" А. В. Колесниченко бесплатно и без регистрации в формате fb2, rtf, epub, pdf, txt, читать книгу онлайн или купить книгу в интернет-магазине.

Источник:

avidreaders.ru

Книга: Турбулентность и самоорганизация: проблемы моделирования космических и природных сред - Маров, Колесниченко

Маров, Колесниченко: Турбулентность и самоорганизация: проблемы моделирования космических и природных сред Аннотация к книге "Турбулентность и самоорганизация: проблемы моделирования космических и природных сред"

Монография посвящена разработке континуальных моделей турбулизованных природных сред - моделей, лежащих в основе постановок и численных расчетов задач, связанных с образованием, структурой и эволюцией различных астро- и геофизических объектов. Стохастические модельные подходы к соответствующим задачам рассмотрены как отражение процессов самоорганизации в диссипативных открытых системах. Приведены примеры возникновения упорядоченностей в различных космических объектах и природных средах в процессе их эволюции.

Для научных сотрудников, работающих в областях астрофизики, геофизики, планетологии, аэрономии и космических исследований, а также для студентов старших курсов и аспирантов соответствующих специальностей.

Если вы обнаружили ошибку в описании книги "Турбулентность и самоорганизация: проблемы моделирования космических и природных сред" (авторы Маров Михаил Яковлевич, Колесниченко Александр Владимирович) , пишите об этом в сообщении об ошибке. Спасибо!

Источник:

www.labirint.ru

Турбулентность и самоорганизация

А. В. Колесниченко Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред Книга "Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред"
  • Автор(ы):
  • А. В. Колесниченко
  • Жанры:
  • Детская литература
  • Год:
  • 2015
  • Cерия:
  • Математическое моделирование
  • Рейтинг Libs.ru:
  • 0 О рейтинге Libs.ru

    Рейтинг книги по версии Libs.ru - этот рейтинг отражает интерес читателей к книге на портале Libs.ru. На основании оценок пользователей Libs.ru формирует рейтинг лучших книг, например: Лучшие книги 2012 года, Лучшие книги 2015 года

    Что влияет на Рейтинг Libs.ru:

    1. Оценка книги. Вы можете выразить свое мнение о книге поставив ей положительную или отрицательную оценку
    2. Публикация о книге, пример публикация Зулейха открывает глаза
    3. Книгу добавили в Избраное
    4. Книгу рекомендуют

    (будет легально скачан большой фрагмент книги, Вы сможете понять, нравится ли она Вам, и если да, то легально купить)

    Купить книгу Читать фрагмент онлайн
    • читать он лайн
    Описание книги Все книги серии О рейтинге Libs.ru

    Рейтинг книги по версии Libs.ru - этот рейтинг отражает интерес читателей к книге на портале Libs.ru. На основании оценок пользователей Libs.ru формирует рейтинг лучших книг, например: Лучшие книги 2012 года, Лучшие книги 2015 года

    Что влияет на Рейтинг Libs.ru:

    1. Оценка книги. Вы можете выразить свое мнение о книге поставив ей положительную или отрицательную оценку
    2. Публикация о книге, пример публикация Зулейха открывает глаза
    3. Оценки публикации, если публикация была написана о книге.
    4. Количество комментариев к книге.
    5. Добавление книги в избранное.

    О рейтинге Libs.ru

    Рейтинг книги по версии Libs.ru - этот рейтинг отражает интерес читателей к книге на портале Libs.ru. На основании оценок пользователей Libs.ru формирует рейтинг лучших книг, например: Лучшие книги 2012 года, Лучшие книги 2015 года

    Что влияет на Рейтинг Libs.ru:

    1. Оценка книги. Вы можете выразить свое мнение о книге поставив ей положительную или отрицательную оценку
    2. Публикация о книге, пример публикация Зулейха открывает глаза
    3. Оценки публикации, если публикация была написана о книге.
    4. Количество комментариев к книге.
    5. Добавление книги в избранное.

    О рейтинге Libs.ru

    Рейтинг книги по версии Libs.ru - этот рейтинг отражает интерес читателей к книге на портале Libs.ru. На основании оценок пользователей Libs.ru формирует рейтинг лучших книг, например: Лучшие книги 2012 года, Лучшие книги 2015 года

    Что влияет на Рейтинг Libs.ru:

    1. Оценка книги. Вы можете выразить свое мнение о книге поставив ей положительную или отрицательную оценку
    2. Публикация о книге, пример публикация Зулейха открывает глаза
    3. Оценки публикации, если публикация была написана о книге.
    4. Количество комментариев к книге.
    5. Добавление книги в избранное.

    О рейтинге Libs.ru

    Рейтинг книги по версии Libs.ru - этот рейтинг отражает интерес читателей к книге на портале Libs.ru. На основании оценок пользователей Libs.ru формирует рейтинг лучших книг, например: Лучшие книги 2012 года, Лучшие книги 2015 года

    Что влияет на Рейтинг Libs.ru:

    1. Оценка книги. Вы можете выразить свое мнение о книге поставив ей положительную или отрицательную оценку
    2. Публикация о книге, пример публикация Зулейха открывает глаза
    3. Оценки публикации, если публикация была написана о книге.
    4. Количество комментариев к книге.
    5. Добавление книги в избранное.

    О рейтинге Libs.ru

    Рейтинг книги по версии Libs.ru - этот рейтинг отражает интерес читателей к книге на портале Libs.ru. На основании оценок пользователей Libs.ru формирует рейтинг лучших книг, например: Лучшие книги 2012 года, Лучшие книги 2015 года

    Что влияет на Рейтинг Libs.ru:

    1. Оценка книги. Вы можете выразить свое мнение о книге поставив ей положительную или отрицательную оценку
    2. Публикация о книге, пример публикация Зулейха открывает глаза
    3. Оценки публикации, если публикация была написана о книге.
    4. Количество комментариев к книге.
    5. Добавление книги в избранное.

    О рейтинге Libs.ru

    Рейтинг книги по версии Libs.ru - этот рейтинг отражает интерес читателей к книге на портале Libs.ru. На основании оценок пользователей Libs.ru формирует рейтинг лучших книг, например: Лучшие книги 2012 года, Лучшие книги 2015 года

    Что влияет на Рейтинг Libs.ru:

    1. Оценка книги. Вы можете выразить свое мнение о книге поставив ей положительную или отрицательную оценку
    2. Публикация о книге, пример публикация Зулейха открывает глаза
    3. Оценки публикации, если публикация была написана о книге.
    4. Количество комментариев к книге.
    5. Добавление книги в избранное.

    О рейтинге Libs.ru

    Рейтинг книги по версии Libs.ru - этот рейтинг отражает интерес читателей к книге на портале Libs.ru. На основании оценок пользователей Libs.ru формирует рейтинг лучших книг, например: Лучшие книги 2012 года, Лучшие книги 2015 года

    Что влияет на Рейтинг Libs.ru:

    1. Оценка книги. Вы можете выразить свое мнение о книге поставив ей положительную или отрицательную оценку
    2. Публикация о книге, пример публикация Зулейха открывает глаза
    3. Оценки публикации, если публикация была написана о книге.
    4. Количество комментариев к книге.
    5. Добавление книги в избранное.

    Источник:

    libs.ru

Колесниченко А

Альтернативная

Колесниченко А. В. / Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред

Название: Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред

Аннотация:Монография посвящена разработке континуальных моделей турбулизованных природных сред – моделей, лежащих в основе постановок и численных расчетов задач, связанных с образованием, структурой и эволюцией различных астро-и геофизических объектов. Стохастические модельные подходы к соответствующим задачам рассмотрены как отражение процессов самоорганизации в диссипативных открытых системах. Приведены примеры возникновения упорядоченностей в различных космических объектах и природных средах в процессе их эволюции.

Для научных сотрудников, работающих в областях астрофизики, геофизики, планетологии, аэроиомии и космических исследований, а также для студентов старших курсов и аспирантов соответствующих специальностей.

Скачать в pdf ( 16.6 МБ):

Колесниченко А. В. / Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред

Тепловизионное обследование дома цена

Метки: Язык сайта:

Тренажёр ПравИло - оздоровительные растяжки.

Источник:

www.vixri.ru

6 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И САМООРГАНИЗАЦИЯ ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОСМИЧЕСКИХ И ПРИРОДНЫХ СРЕД Москва БИНОМ

«ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И САМООРГАНИЗАЦИЯ ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОСМИЧЕСКИХ И ПРИРОДНЫХ СРЕД Москва БИНОМ. Лаборатория знаний УДК 52+51 ББК 22.63в6 К60 Колесниченко А. В. К60 Турбулентность . »

В уравнение переноса (4.2.40) входит целый ряд неопределенных корре­ ляционных моментов, порождающих проблему замыкания. С учетом ого­ воренных нами выше соображений, моделирование этих дополнительных корреляций проведем с использованием следующих простых аппроксимаций § 4.2.

М одельные уравнения переноса вторых моментов для многокомnонентной смеси 269 (Колесниченко, Марав, 1984) :

в которых Ks 1, Кш с3 и с4 - универсальные эмпирические константы. По по­ воду этих соотношений можно сказать следующее: Для лакальна изотропной турбулентности при больших числах Рейнольдса корреляционные моменты П (дН "jдr) и q (ди "jдr, а тем самым и член с вязкой диссипацией (r:н ), рав­ · · ны нулю. Диссипативная корреляция ( t:н ) будет также пренебрежимо мала в неизотропной турбулентности при условии, что турбулентное число Рей­ нольдса велико. Следовательно, для практических приложений необходимы модельные аппроксимации величины ( t:н ) только при малых числах Returь, например, в приповерхностном слое. Корреляции давления с градиентом эн­ тальпии р ' (дН" jдr) является эквивалентом корреляции давления с деформа­ цией (4.2.2 1 ) в уравнении для тензора Рейнольдса. Когда прямая диссипация пренебрежимо мала, этот член обеспечивает механизм, который ограничивает рост потоков. Наиболее часто используемой аппроксимацией для корреляции давления с градиентом энтальпии р ' (дН " jдr) служит выражение, предложен­ ное Моииным ( 1965) - первый член в (4.2.45). Это выражение представляет собой прямой аналог приближения тенденции к изотропности», введенно­ го Роттой ( 1951) для корреляционных величин Фki• связанных с пульсациями скорости и давления [см. формулу (4.2.26)]. Второй аппроксимирующий член, х р = - qturЬ.

связанный с величиной ( д) ) _ 2qturb g + pGH (4.2.45*) Н определяет скорость генерации турбулентного теплового потока qturь под вли­ янием средней деформации, а также благодаря действию осредненного гради­ ента давления (см. Лаундер, Сполдинг, 1972). И, хотя корреляция р ' (дН " /дr) в этом случае частично компенсирует член с прямой генерацией величины (Н " и " ) силами плавучести, все же силы плавучести приводят к росту верти­ кального потока турбулентного тепла при нестабильной стратификации среды и к его уменьшению - при стабильной. Диффузионный член в (4.2.40 ), яв­ ляющийся скоростью пространствеиного переноса корреляции ( Н " и " ) под действием пульсаций гидродинамической скорости и давления, моделируют­ ся, так же как и в случае уравнения для тензора Рейнольдса R, с использова­ нием гипотезы градиентного типа со скалярным коэффициентом диффузии.

Для свободных констант в соотношениях (4.2.44)-(4.2.46) на основе име­ ющихся в литературе сведений по моделированию плоских слоев смешения можно принять следующие значения:

К62 KsJ = 0,4 ; Ks2 0,5 ; с3 = 0,8. (4.2.47) == Для других типов течений эти константы подлежат дальнейшему уточнению.

270 Глава 4. ДиффереiЩИальные модели замыкания осредненных rnдрQДИНамических уравнений

4.2.4. Уравнения переноса и диссипация скалярных вторых моментов для многокомпонентной среды с переменной плотностью Уравнение переноса среднеквадратичных пульсаций энтальпии смеси

Заметим, что уравнения (4.2.69) также линейно зависимы. Дополнитель­ ными соотношениями для определения корреляций (Z' Zfз') являются ра­ венства N N "' тa (Z" Z") = О ' L mfJ (Z' Zjз' = О (а, fJ = 1, 2. N).

§ 4.3. Алгебраические модели замыкания для многокомпонентной химически активной среды Рассмотренная в предыдущем параграфе усложненная феноменологиче­ ская модель многокомпонентной турбулентности, включающая, в качестве замыкающих, модельные уравнения переноса одноточечных корреляционных моментов второго порядка, потенциально превосходит более простые рас­ смотренные в гл. 3 модели, основанные на использовании градиентных со­ отношений для турбулентных потоков. Однако эти модельные уравнения до­ вольно сложны с вычислительной точки зрения и потому зачастую не очень удобны для практических приложений. Вместе с тем, они могут быть исполь­ зованы для совершенствования более простых градиентных моделей. В част­ ности, уравнения переноса для вторых моментов можно упростить до алге­ браических соотношений для этих же величин и использовать в дальнейшем при моделировании турбулентных коэффициентов переноса, фигурирующих в градиентных соотношениях.

4.3. 1. Локально равновесное приближение (К -теория турбулентности химически реагирующей газовой смеси) Итак, если предположить, что в структуре турбулентного поля имеется некоторое внутреннее равновесие с полем осредненных термагидродинамиче­ ских параметров, при котором конвективные и диффузионные члены в уравГлава 4. ДиффереiЩИальные модели замыкания осредненных гидродннамических уравнений нениях переноса (4.2. 1 8 ), (4.2.40), (4.2.48), (4.2.58), (4.2.64) и (4.2.69) уравно­ вешивают друг друга, то корреляционные моменты второго порядка RiJ ' qurь, (Н"2 ), Jjrь, (Н" Z'), (Z' Zjз') будут находиться в локальном равновесии друг с другом. Другими словами, они не будут изменяться как во времени так и в координатном пространстве. Это приближение (в случае одножидкостной среды) было названо Дональдеоном ( 1972) «сверхравновесным» приближе­ нием. Соотношения между корреляционными моментами второго порядка и градиентами характеристик основного течения, определяемые уравнения­ ми (4.2. 1 8), (4.2.40), (4.2.48), (4.2.58), (4.2.64) и (4.2.69), образуют схему за­ мыкания второго порядка, или так называемую К -теорию турбулентности.

Она справедлива, если: 1 ) любые изменения осредненного течения являются очень медленными по сравнению с характерным для турбулентного движения временем tturь L/(b) и 2) пространствеиное изменение характеристик тур­ булентности мало на расстояниях порядка масштаба L. В общем случае эти два условия удовлетворяются одновременно очень редко, поскольку масштаб турбулентности L обычно определяется пространствеиными изменениями те­ чения. Специфической областью, где оба условия удовлетворяются, является область пограничного слоя с постоянным потоком импульса, в которой от­ ношение L/(b) близко к нулю.

Таким образом, в случае локально равновесного приближения указанные выше уравнения переноса вырождаются, и мы получаем следующие алгебра­ ические уравнения для определения вторых корреляционных моментов:

уравнения для определения корреляций (и'и;' 1.

Таким образом, определяя корреляции (u'uj'), (H "u"j), (Z'uj' ), (Н"2 ), (H"Z'), (Z'Zjз' и з системы алгебраических уравнений (4.3. 1 )-(4.3. 1 0) и предполагая справедливыми градиентные соотношения (см. Монин, Яглом, 1992)

4.3.2. Квазиравновесное приближение В уравнениях (4.3. 1 )-(4.3. 10) и (3.3.36) бьuю бы правильнее пренебречь теми членами, которые описывают эффекты, присущие ламинарному тече­ нию, поскольку малые числа Рейнольдса несовместимы с предположением о лакально-равновесной турбулентности. Однако ввиду приближенного харак­ тера данного подхода их часто оставляют в рассмотрении, но одновременно с этим привлекают к анализу полное уравнение переноса энергии турбулент­ ности (4.2.35), в котором фигурируют как конвективные, так и диффузион­ ные члены. Разумеется, что в этом случае одно из уравнений (4.3. 1 ) должно быть опущено. Такой подход (квазиравновесное приближение), предложен­ ный впервые Левелленам (см. сб. « Т урбулентность, принципы и применения»,

1 980) для случая однокомпонентной жидкости, по-видимому, точнее рассмот­ ренного выше сверхравновесного приближения» (при котором в уравнениях § 4. 3. Алгебраические модели замыкания для многокомпонентной среды переноса опускаются все указанные члены), поскольку позволяет до некото­ рой степени учесть эффекты неравновесности турбулентного поля пульси­ рующих термагидродинамических параметров. В этом случае корреляцион­ ные характеристики турбулентности в каждой пространствеиной точке будут связаны с полем определяющих параметров в различных областях течения.

Применение полного уравнения (4.2. 35) для определения турбулентной энер­ гии может быть оправдано тем обстоятельством, что время установления ло­ кально равновесной структуры турбулентного поля много меньше времени, необходимого для достижения полем турбулентных скоростей уровня, соот­ ветствующего равенству производства и диссипации турбулентной энергии (см. Иевлев, 1975).

В заключение отметим, что при использовании метода инвариантного мо­ делирования во втором порядке замыкания нельзя точно рассчитать встре­ чающиеся в природе течения, в которых осуществляется перенос какой-либо консервативной характеристики потока в напрамении, противоположном ее гра­ диенту (Меллор, Ямада, 1974, 1982). Подобное явление наблюдается, напри­ мер, в нейтрально стратифицированном по температуре поrраничном слое земной атмосферы, когда поток тепла направлен вверх против градиента по­ тенциальной температуры. Это приводит к тому, что коэффициент турбулент­ ной теплопроводности в формуле (4.2.67) оказывается отрицательной вели­ чиной - эффект отрицательной теплопроводности. Соответственно, адекват­ ная теория противоградиентного переноса может быть развита, по-видимому, только на основе моделей третьего порядка замыкания (см. Лыкосов, 1991).

Глава 5 Стохасrико-термодинамическое моделирование развитой структурированной турбулентности Целью данной главы является введение читателя в курс быстро развивающейся в настоящее время стохастико-термодинамической теории необратимых процессов на примере моделирования структурированной турбулентности. Здесь рассмотрен синергетический подход к разработке феноменологической модели предельно разви­ той турбулентности в сжимаемой однородной жидкости с учетом происходящих в ней нелинейных кооперативных процессов. До недавнего времени турбулентность, являющаяся без преувеличения самым распространенным видом движения жидкости и газа в природе, традиционно предстаRJIЯЛась, в основном, в виде мелкозернистого флуктуирующего континуума в состоянии полного стохастического хаоса. Од­ нако допустима и иная точка зрения на турбулентность, высказанная впервые, по-видимому, Пригожиным (П ригожин, Стенгерс, 1986). Согласно этим пред­ ставлениям, реальное турбулентное течение жидкости является процессом ме­ нее случайным и макроскопически более организованным, нежели это кажет­ ся с первого взгляда, причем переход от ламинарного течения к турбулентному является процессом самоорганизации, при котором часть энергии турбулент­ ного хаоса, отвечающего мелкомасштабным флуктуациям термагидродина­ мических параметров среды, переходит в макроскопически организованное движение вихревых когерентных структур (КС). Это обстоятельство повыша­ ет внутреннюю упорядоченность турбулизованной гидродинамической систе­ мы по сравнению с молекулярным хаосом (ламинарным движением жидко­ сти). В частности, каскадный процесс дробления вихрей, имеюший место в полностью развитой турбулентности, также может быть интерпретирован как неограниченная последовательность процессов самоорганизации. При этом множество пространствеино-временных масштабов, на которых разыгрыва­ ется такого рода процесс, отвечает когерентному поведению огромного числа частиц, выражающемуся в образовании относительно устойчивых мезомас­ штабных супермолекулярных структур (когда молекулы участвуют в коллек­ тивных, согласованных, взаимосвязанных движениях, отвечающих разномас­ штабным вихрям, непрерывно распределенным в реальном потоке жидкости).

Такое изменение взгляда на турбулентность отчетливо выражено в высказывании Пригожина (см. П ригожин, Стенгерс, 1994) Кто бы мог предсказать тридцать лет назад, что неравновесность приводит к самоорганизации в том виде, в каком мы наблюдаем ее в гидродинамических неустойчивостях типа ячеек Бенара».

5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности Глава 281 Как теперь стало ясно, наличие относительно крупных когерентных ви­ хревых образований (турбулентных нитей, колец, вихревых спиралей и т. п.), случайно распределенных в пространстве и во времени, является характер­ ной чертой многих, если не всех, развитых турбулентных течений (см. Crow, Champagne, 1971; Brown, Roshko, 1974; Рабинович, Сущик, 1990; Монин, 1994).

Согласно этим Представлениям (см., например, Климонтович, 2002), гидроди­ намическая турбулентность, принадлежащая к числу наиболее сложных ди­ намических явлений, связана, в частности, с возникновением и развитием огромного числа организованных диссипативных вихревых структур различ­ ного пространствеино-временного масштаба при определенных режимах те­ чения жидкости в существенно неравновесной открытой системе. Как пока­ зано в гл. 1 (см. также Marov, Kolesnichenko, 2006), процессы самоорганизации на фоне хаотического пульсационного движения космического вещества яв­ ляются, по-видимому, важнейшим механизмом, формирующим специфиче­ ские черты астра- и геофизических объектов на разных стадиях их эволюции, включая возникновение галактик и галактических скоплений, рождение звезд из диффузной среды газопьшевых облаков, образование протопланетных дис­ ков и последующую аккумуляцию планетных систем, формирование газовых оболочек планет и комет (атмосфер), разномасштабные течения в атмосферах и околопланетной плазме и т. д.

В соответствии с имеющимися на сегодня экспериментальными данны­ ми (основательный обзор соответствующих публикаций приведе н, например, в монографии (Хлопков и др., 2002)), когерентная вихревая структура может быть определена как связная, жидкая масса с завихренностью, скоррелиро­ ванной по фазе (т. е. когерентной) во всей области координатного простран­ ства, занимаемой структурой [см. п. 6.2]. В последнее десятилетие, благодаря прогрессивному развитию техники визуального наблюдения турбулизованных течений жидкости, бьшо открыто большое число разнообразных КС и досто­ верно установлены их топологические характеристики. В качестве уже упо­ минавшихся нами ранее примеров могут быть названы такие из них, как «вихревые нити, «вихри Тейлора», турбулентные пятна», «вихревые клуб­ ки», шпилькообразные вихри», берстингю, вихревые спирали, стрики, структуры Брауна-Томаса, грибовидные вихри и т. п. Частота появления той, или иной структуры зависит от типа течения (пограничный слой, слой смешения, струя и т. п.), геометрии и режима движения турбулизованной жидкости. Подобного типа вихревые образования, как правило, локализо­ ваны в пространстве, не перскрываются (поэтому их часто можно рассмат­ ривать как сосредоточенные объекты - кластеры) и имеют длины пробега много больше, чем их собственные размеры. По определению, характерным размером КС является наибольший пространственный масштаб l, на котором существует когерентная завихренность ; новейшие результаты показывают, что 1 может быть значительно меньше, чем характерный гидродинамический мас­ штаб течения L, но больше, чем колмогоровекий масштаб 1J, т. е. лежать в инерционном интервале масштабов, 1J 1 « L. Вследствие взаимодействия индивидуальных КС (например, в случае двух простых вихрей - по закону Био-Савара), носящего, в общем случае, существенно нелинейный харакГлава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности тер, происходит их объединение или распад, т. е. появление новой одиночной структуры (например, спирального вихря) или смежных подобных структур (колец, клубков и т. п. ), которые могут быть связаны посредством жгутов ­ областей низкой когерентной завихренности. В дальнейшем мы будем исхо­ дить из того, что мезомасштабные пространствеино-временные КС случайны по всем параметрам, используемым для их описания.

К сожалению, прямое численное моделирование развитых турбулентных движений на основе точных (мгновенных) гидродинамических уравнений со­ пряжено, как правило, с большими математическими трудностями, а созда­ ние завершенной теории структурированной турбулентности вряд ли возмож­ но на данном этапе развития гидромеханики из-за чрезвычайной сложности механизмов возникновения, взаимодействия и эволюции разномасштабных вихревых образований. Собственно, по этой причине требуется разработка новых модельных подходов (в том числе и феноменологических) к описанию полностью развитой турбулентности, введения дополнительных внутренних параметров среды (характеризующих мелкомасштабные структуры течения), установления для их вычисления универсальных закономерностей и особых соотношений, дополняющих уже известные уравнения типа законов сохране­ ния массы, энергии, количества движения и т. п. Разумеется, что такое полу­ эмпирическое моделирование структурированной турбулентности, несмотря на неизбежную в этом случае идеализацию описания реального течения жид­ кости, должно, тем не менее, отображать в главных чертах важнейшие гидро­ динамические эффекты при минимуме необходимых вычислительных усилий.

Следовательно, для построения адекватной модели высокоорганизованного турбулентного течения необходимо, в общем случае, привлекать к рассмот­ рению наряду с мелкозернистым флуктуирующим полем термагидрадинами­ ческих параметров течения (подобный подход бьш рассмотрен в гл. 3), также и относительно крупные диссипативные когерентные образования. Причем они должны приниматься во внимание как на стадии моделирования процес­ са вовлечения окружающей еще незавихренной жидкости в турбулизованное движение, так и при описании полностью развитых процессов турбулентно­ го переноса массы, импульса и тепла. Другими словами, любая эффектив­ ная континуальная модель турбулентности не может быть развита без явного включения в ее состав пространствеино-временных когерентных структур и описания их какими -то внутренними параметрами состояния пульсационно­ го течения. Согласно Фришу ( 1998), подобного рода регулярные вихревые образования являются в известном смысле сухожилиями» турбулентности.

Следовательно, только на пути моделирования турбулентности с учетом ее внутренней структуризации открываются подлинные возможности эффектив­ ного преодоления тех механических и математических проблем, с которыми связаны перспектинные постановки и численные реализации разнообразных турбулентных задач, в частности, в области астрофизики и космогонии (см.

Седов, 1980; Колесниченко, Марав, 1999; Marov, Kolesnichenko, 2001).

В силу сказанного становится понятно, почему феномен структурирован­ ной турбулентности предоставляет исследователям богатый материал для раз­ работки новых идей, касающихся соотношения порядка и хаоса в турбулиГлава Стохастико-термодинамическое модел ирование развитой турбулентности зоваиных течениях жидкости, простоты и сложности в поведении открытых флуктуирующих гидродинамических систем, которые могут без специфиче­ ского воздействия извне путем самоорганизации формировать вихревые про­ странетвенно-временные структуры, т. е. осуществлять вдали от локального термодинамического равновесия «порядок через флуктуации». К сожалению, нужно отметить, что хотя со времени понимания синергетической природы турбулентности, как процесса самоорганизации, прошло уже более тридцати лет, до настоящего времени представления о возникающих в потоке днесипа­ тивных когерентных образованиях не материализовались в разработки таких модельных подходов, которые нацелены на создание практических (инженер­ ных) методов расчета турбулентности, основанных, как правило, на уравне­ ниях гидродинамического типа. Вместе с тем, расширение формализма нерав­ новесной термодинамики на среды с возбужденными внутренними степенями свободы макромолекул (которые возможно описать дополнительными параметрами, характеризующими внутреннюю микроструктуру среды) позволяет, по-види­ мому, распространить этот подход и на моделирование каскадного процесса переноса кинетической энергии вихрями разного размера, образующихся в результате их последовательного дробления в развитом турбулентном потоке.

Наша задача состоит в том, чтобы при использовании методов расши­ ренной необратимой термодинамики с внутренними переменными (см. де Грот, Мазур, 1964; Жоу и др., 2006) и статистической термодинамики необра­ тимых процессов (Стратонович, 1985; Кайзер, 1990), столь хорошо зареко­ мендовавших себя в последнее время при изучении широкого класса фи­ зических проблем, попытаться построить феноменалогически гидродинами­ ческую модель стационарно-неравновесной турбулентности с учетом проис­ ходящих в ней нелинейных кооперативных процессов, которые приводят к образованию всевозможных неравновесных диссипативных вихревых струк­ тур вдали от термодинамического равновесия (см., например, Эбелинг и др., 2001). Другими словами, мы попытаемся феноменалогически получить за­ мкнутую систему осредненных гидродинамических уравнений, самосогласо­ ванно описывающих как разнообразные процессы турбулентного переноса, так и процессы самоорганизации. При подобном подходе вихревые КС, от­ носящиеся к сильно локализованными областями мелкомасштабного движе­ ния подсистемы турбулентного хаоса, следует принимать во внимание, как на стадии турбулизации ламинарного потока, происходящей в результате разви­ тия иерархии неустойчивостей какого-либо вида (например, неустойчивости Кельвина-Гельмгольца в свободных сдвиговых течениях - в слоях смешения, в струях, в следе и т. п., или неустойчивости Тейлора-Гертлера в подслое тур­ булентного пограничного слоя, где возможно появление продольных вихрей в пристеночных слоях), так и на стадии развитой турбулентности при нали­ чии всевозможных резонансных ситуаций, связанных, например, с синхро­ низацией мелкомасштабной завихренности в потоке сильно турбулизованной жидкости. Под синхронизацией регулярных и хаотических (стохастических) колебаний здесь и далее понимается установление некоторых соотношений между характерными частотами и фазами автоколебательных систем в ре­ зультате их взаимовлияния [см. п. 6.2].

284 Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности В п. 5. 1 мы обсудим синергетический подход к построению феномено­ логической модели развитой турбулентности в сжимаемой однородной жид­ кости при учете происходящих в ней нелинейных кооперативных процессов.

Включение в модель набора случайных персменных в качестве внутренних параметров подсистемы турбулентного хаоса, связанных с ее микрострукту­ рой, позволяет в этом случае вывести термодинамическими методами кине­ тические уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) в конфигураци­ онном пространстве. Эти уравнения, предназначенные для определения вре­ менной эволюции плотности распределения условной вероятности случай­ ных структурных параметров хаоса (относящихся, в частности, к каскадному процессу дробления крупномасштабных вихрей или температурных неодно­ родностей), будут использованы далее также и для анализа марковских сто­ хастических процессов перехода из одного квазинеравновесного состояния турбулентного хаоса в другое в результате последовательной потери устойчи­ вости течения жидкости при изменении соответствующих управляющих па­ раметров. Стабилизация подсистемы хаоса вблизи очередного стационарно­ неравновесного состояния в конфигурационном пространстве отвечает пере­ ходу турбулизованной системы в новое состояние, адекватное возникновению сложных пространствеино-временных КС в турбулизованном потоке.

В п. 5.2 будет рассмотрен альтернативный метод к исследованию меха­ низмов перехода подобного рода, основанный на стохастических уравнениях ланжевеновского типа, тесно связанных с кинетическими уравнениями ФП К (данная связь прослеживается в этом разделе). Здесь проанализирована карди­ нальная проблема развиваемого подхода - возможность существования асим­ птотически устойчивых стационарно-неравновесных состояний подсистемы турбулентного хаоса. С этой целью предложен неравновесный термодинами­ ческий потенциал для стохастических внутренних координат турбулентного хаоса, обобщающий известное соотношение Больцмана-Планка для равно­ весных термодинамических состояний на стационарно-неравновесные состо­ яния ансамбля подсистем (представляющего хаос), и показано, что этот по­ тенциал является функцией Ляпунова для таких состояний.

Наконец, последний, третий, параграф данной главы посвящен термоди­ намическому выводу обобщенных дробных уравнений ФПК, описывающих процессы эволюции внутренних координат подсистемы турбулентного хаоса на основе дробной динамики, учитывающей структуру и метрику фракталь­ иого времени. Подобного рода уравнения предназначены для описания про­ цессов перехода к новым квазиравновесным состояниям, обладающим топо­ логией фрактальиого множества. Структурная устойчивость КС в этом случае поддерживается за счет многомасштабных корреляций, играющих ключевую роль в режиме сильной нелинейности. Можно думать, что фрактальиость фа­ зового пространства и дальнодействуюшие корреляционные эффекты являют­ ся взаимно согласованными характеристиками процесса самоорганизации си­ стемы при переходе ее к неравновесному турбулентному состоянию. Введение дробных производных по времени в кинетическое уравнение ФПК позволяет учесть в контексте единого математического формализма эффекты памяти (т. е. немарковость процессов эволюции в некоторых областях фазового проСинергетический подход к описанию стационарно-неравновесной турбулентности 285 странства) и перемежаемости во времени, с которой обычно связывают на­ личие турбулентных всплесков на фоне менее интенсивных низкочастотных колебаний мелкозернистой турбулентности.

§ 5.1. Синерrетический подход к описанию стационарно-неравновесной турбулентности Как известно, реализуемая при конечном, но достаточно большом числе Рейнольдса, развитая турбулентность характеризуется заполненными спектра­ ми Фурье (как временными, так и пространственными), что свидетельствует о существовании многомасштабной структуры поля термагидродинамических параметров. Собственно многомасштабность течения жидкости, когда воз­ буждено огромное число степеней свободы, и является ключевым признаком развитой турбулентности. Поэтому любой модельный подход к описанию пол­ ностью развитой турбулентности, по сути, представляет собой тот или иной способ ограничения степеней свободы.

При феноменологическом конструировании модели структурированной турбулентности (направленной на описание регулярных полей гидратер­ модинамических параметров), движущуюся пульсирующую жидкость мы будем представлять в виде термагидродинамического комплекса, состояще­ го из двух взаимосвязанных континуумов (подсистем), которые заполняют одновременно один и тот же объем координатного пространства непре­ рывно - подсистемы осредненного движения и подсистемы турбулентного пространствеино-временного хаоса (Колесниченко, Маров, 1999; Колесничен­ ко, 2002; 2004; Marov, Kolesnichenko, 2001; 2006). Континуум осредненного движения, получающийся в результате теоретико-вероятностного осредне­ ния мгновенных гидродинамических уравнений жидкости, предназначен в основном для исследования эволюции осредненных полей термагидродина­ мических параметров (включая описание крупных вихревых образований).

Подсистема турбулентного хаоса (турбулентная надструктура») состоит, в свою очередь, из двух составляющих (фаз): собственно турбулентного хаоса (так называемой некогерентной турбулентности), связанного со стохастиче­ ским мелкомасштабным пульсационным движением завихренной жидкости, и внедренной в такое почти однородное (мелкозернистое) пульсирующее поле термагидродинамических параметров когерентной составляющей, обла­ дающей в общем случае топологией фрактальиого множества и связанной с мезомасштабными вихревыми структурами в турбулизованном потоке жид­ кости. При этом, в термодинамическое описание подсистемы турбулентного хаоса будем включать набор внутренних координат, отвечающих, в конечном счете, возбужденным макроскопическим степеням свободы турбулизованной жидкости. Это дает возможность использовать при моделировании процес­ сов турбулентного переноса и кинетики в полном континууме обобщенную теорию Онзагера [см. гл. 2], описывающую в рассматриваемом случае не только линейную релаксацию осредненных значений экстенсивных термаГлава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности динамических параметров к их стационарным значениям, но и особенности поведения турбулентных флуктуаций в окрестности стационарно-неравновес­ ных состояний хаоса (см. Кайзер, 1990). Применение известного расширения формализма неравновесной термодинамики на системы с внутренними сте­ пенями свободы (см. П ригожин, 1960) позволяет получить кинетические уравнения ФПК для функций распределения характеристических параметров мелкомасштабной турбулентности и на их основе смоделировать каскадный процесс Ричардсона-Колмогорова.

Следует отметить, что принятое нами разделение реального течения пуль­ сируюшей жидкости на воображаемые - осредненное и турбулентное, зави­ сит, вообще говоря, от выбора пространствеино-временной области, для ко­ торой установлены средние значения локальных физических переменных, яв­ ляющихся непрерывными функциями координат r и времени t, т. е. име­ ет, до некоторой степени, условный характер. Гидродинамический масштаб осредненного движения Л (масштаб наблюдения по Обухову ( Obukhov, 1962) или шаг разрешения разностной сетки), лежащий в инерционном интерва­ ле lJ Л «: L и определяемый размером dr "' Л области осреднения G, будем полагать далее таким, чтобы подсистема турбулентного хаоса содержала всю совокупность мезомасштабных КС, размер которых меньше области осред­ нения, l Л. Здесь lJ = (v3 fcь) 114 - колмогоровекий масштаб длины, который характеризует влияние вязкой диссипации на структуру мелкомасштабной турбулентности; L - внешний, или интегральный масштаб турбулентности, характеризующий механизм ее возникновения; Еь - ключевая характеристика каскадного процесса дробления вихрей Ричардсон- Колмогорова, представ­ ляющая собой среднюю скорость диссипации турбулентной энергии в едини­ це массы жидкости в единицу времени и одновременно (в квазиравновесных условиях) равная скорости передачи кинетической энергии пульсационного движения по иерархии вихрей. Согласно сушествующим оценкам, для того чтобы осредненный поток содержал основную долю (80% или 90%) полной энергии турбулизованного течения нужно, чтобы масштаб осреднения Л бьm в десять-двадцать раз меньше интегрального масштаба турбулентности L.

Заметим, что используемая специфика двухфазности» турбулентного хаоса проявляется в дополнительном турбулентном переносе импульса и энергии вихревыми когерентными образованиями, что приводит к некоторой моди­ фикации известных моделей замыкания (определяющих соотношений), а так­ же к необходимости уточнения эффективных (с учетом присутствия в потоке КС) коэффициентов турбулентной вязкости и теплопроводности.

5.1.1. Система гидродинамических уравнений масштаба среднего движения для однокомпонентной сжимаемой жидкости Мы будем следовать классическому подходу к феноменологии полностью развитой турбулентности, который основывается на идее Рейнольдса об осреднении мгновенных уравнений движения жидкости для пульсирующих термагидродинамических параметров по пространству и/или времени, или § 5.1. Синергетический подход к описанию стационарно-неравновесной турбулентности посредством другой эквивалентной процедуры, например, посредством при­ иятой в статистической гидродинамике теоретико-вероятностной процедуре осреднения по ансамблю статистически подобных гидродинамических си­ стем, находящихся в одинаковых внешних условиях (см. Монин, Яглом, 1992).

При учете обычного для статистической физики предположения об эргодич­ ности системы, когда можно отождествить временное (пространственное) среднее значение любой физической переменной с ее теоретико-вероятност­ ным средним значением, указанные осреднения отфильтровывают те моды движения, масштаб которых меньше пространствеино-временного интервала осреднения. Эти мелкомасштабные пульсационные движения, исключенные в процессе осреднения, вносят, по предположению, вклад в турбулентное движение среды, определяемое пульсациями гидродинамических параметров по отношению к соответствующим осредненным значениям. Собственно именно это мелкомасштабное турбулентное движение моделируется далее подсистемой турбулентного хаоса.

Вновь подчеркнем, что проблема осреднения является одной из централь­ ных в механике природных сред, а в случае такой сложной системы как струк­ турираванная турбулентность нередко именно от способа осреднения зависит само построение ее макроскопической модели. Имея в виду разнообразные приложения разрабатываемой модели турбулентности, в частности, к неко­ торым астрофизическим явлениям, в которых отношение характерной ско­ рости жидкости к осредненной скорости звука (мера значимости флуктуаций плотности среды) намного больше единицы, будем в этой главе предпола­ гать перемениость массовой плотности системы p(r, t). Ранее уже отмечалось [см. п. 3. 1 ], что в классических теориях турбулентности с постоянной мас­ совой плотностью для всех без исключения физических параметров среды, осреднения обычно вводятся некоторым одинаковым образом, причем, как правило, без весовых коэффициентов. Вместе с тем, такое идентичное для всех физических параметров осреднение в случае жидкости с переменной массовой плотностью приводит не только к громоздким гидродинамическим уравнениям масштаба среднего движения, но и к затруднениям физической интерпретации некоторых отдельных членов в них. Поэтому при построении феноменологической модели структурированной турбулентности в сжимае­ мой среде будем, как и в двух предыдущих главах этой книги, использовать, наряду с «обычным» средним значением f(r, t) некоторых термагидродина­ мических переменных f(r, t) (например, таких как плотность или давление), среднее по Фавру для некоторых других параметров g(r, t) (например, темпе­ ратуры и гидродинамической скорости), задаваемое соотношением м м lim 1 (g(r, t)) = pg(r, t)/P = моо - p[Pl g[Pijмоо - p[PI.

lim 1 М (5. 1. 1) М p= l p= l Здесь суммирование ведется по набору возможных реализаций [р] ( 1 [р] М) стохастической гидродинамической системы; при этом g = ( g) + g", где g" соответствующая турбулентная пульсация, причем g" #0. Дальше в этой главе, если не оговорено иное, буква в угловых скобках будет обозначать среднемасГлава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности

Из системы уравнений (5. 1.2)-(5. 1.5) видно, что осредненное движение турбулизованной однородной жидкости характеризуется: во-первых, осред­ ненными молекулярными термодинамическими потоками q(r, t) и П(r, t), дЛЯ которых необходимы соответствующие определяющие соотношения (их вы­ вод для турбулизованной среды в рамках термодинамического подхода при­ веден, например, в работе (Колесниченко, 1998)); и во-вторых, пока что не определенными смешанными одноточечными одновременными корреляци­ ями (моментами второго порядка) R(r, t), qturb (r, t) и !Jurь(r, t), представля­ ющими собой так называемые турбулентные потоки характеристик среды, связанные с пульсациями термагидродинамических параметров. Корреляци­ онные члены, включающие пульсации давления р ' div и " и div(p ' и " ), а также среднемассовое значение вязкой диссипации турбулентной энергии (t:ь) также необходимо будет определить. При феноменологическом построении модели развитой турбулентности, установление определяющих (конститутивных) со­ отношений, замыкающих систему (5. 1.2)-(5. 1.5), может быть проведено теми же методом, как и в ламинарном случае [см. п. 2. 1 ], т. е. в соответствии с тер­ модинамическими правилами континуальной механики методом Онзагера, в основу которого, однако, далее будет положено дополнительное представле­ ние о том, что соответствующие термодинамические силы ответственны также и за линейную релаксацию флуктуирующих характеристик турбулизованного хаоса к его устойчивому стационарно-неравновесному состоянию (см., на­ пример, Кайзер, 1990).

5. 1.2. Термодинамика структурированной турбулентности.

Внутренние пульсирующие координаты подсистемы турбулентного хаоса Наша ближайшая задача заключается, таким образом, в том, чтобы пред­ ложить концепцию, которая позволила бы выйти за пределы классического формализма необратимой термодинамики, рассмотренного во второй главе.

Эта цель может быть достигнута путем расширения пространства независи­ мых базисных переменных путем введения в рассмотрение внутренних коор­ динат, определяющих микроструктуру подсистемы турбулентного хаоса. По­ следующий шаг связан с нахождением эволюционных уравнений для этих дополнительных параметров состояния.

В рамках полной модели структурированной турбулентности система урав­ нений (5. 1.2)-(5. 1.5), получающаяся в результате теоретико-вероятностного осреднения мгновенных гидродинамических уравнений однокомпонентной жидкости, предназначена для исследования пространствеино-временной эво­ люции осредненных полей гидродинамических величин, включая также раз­ нообразные крупные вихревые образования. В соответствии с принятой на­ ми точкой зрения Пригожина на гидродинамическую турбулентность как на течение макроскопически высокоорганизованное, подсистему турбулентно­ го (вихревого) хаоса будем рассматривать далее как континуум с определен­ ной внутренней микроструктурой. Более того, будем считать, что вихревой континуум состоит из двух составляющих: собственно турбулентного хаоса Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности (так называемой, некогерентной турбулентности), связанного со стохастиче­ ским мелкомасштабным пульсационным движением завихренной жидкости, и внедренной в такое почти однородное пульсирующее поле гидродинами­ ческих параметров, когерентной составляющей - ансамбля мезомасштабных вихревых структур (многомолекулярных образований). Их образом в фазо­ вом пространстве эквивалентной динамической системы являются класси­ ческие аттракторы (например, предельные циклы) или странные аттракторы (с фрактальной структурой). Каждая из двух указанных подсистем в отдель­ ности является термадинамически открытой, т. е. способной обмениваться с сопредельной подсистемой энергией и энтропией (но не веществом). Поля гидродинамических скоростей для подсистем осредненного движения и турбу­ лентного хаоса будем считать совпадающими, поскольку в процессе реального турбулентного движения жидкости не происходит разделения соответствую­ щих лагранжевых объемов (эффекта диффузии) - подсистема турбулентного хаоса не имеет макроскопической гидродинамической скорости относительно подсистемы осредненного движения. Отметим, что в литературе известен и другой подход к моделированию структурированной турбулентности, связан­ ный, в частности, с тройным разложением мгновенного движения жидкости на осредненное движение, когерентные и пекагерентные пульсации. Основой такого рода моделей служат уравнения гидродинамики, в которых проведело двойное осреднение - по времени и по специально выбранному ансамблю, определенному какими-либо характерными для КС признаками. Однако по­ добная процедура не свободна от многих противоречий (см., например, Хлоп­ ков и др., 2002).

Подчеркнем еще раз, что припятое нами искусственное разделение ре­ ального турбулизованного течения жидкости на воображаемые осредненное и турбулентное (вихревое, пульсирующее), является лишь удобным способом наглядного описания явления, т. е. носит, в известной степени, модельный характер. Для каждой из двух означенных подсистем для любого элементар­ ного объема dr среды определим локальные (крупнозернистые) термодина­ мические параметры (являющиеся непрерывными функциями координат r и времени t), такие как плотность, давление, температура, внутренняя энер­ гия, энтропия и т. д. 1 Кроме этого, подсистему турбулентного хаоса будем дополнительно охарактеризовывать еще и некоторым числом внутренних ко­ ординат, связанных, в конечном счете, с ее микроструктурой [см. ниже]. Сра­ зу подчеркнем, что обобщенная температура и энтропия подсистемы турбу­ лентного хаоса, рассматриваемые в качестве первичных концепций, не име­ ют точной физической интерпретации и вводятся в рассмотрение только для обеспечения связности теории (см. Жоу и др., 2006).

Помимо этого будем считать, что обобщенные термодинамические па­ раметры состояния, характеризующие стационарно-неравновесную вихревую структуру турбулентного хаоса, связаны обычными для локально-равновесВ этой связи уместно напомнить следующее : согласно Онзагеру (1949), для описания турбу ­ лентного хаоса, в котором разномасштабные вихри хорошо перемешаны, могут быть исполь­ зованы методы статистической механики, а стало быть, применимы и методы статистической термодинамики необратимых процессов.

5.1. Синергетический подход к описанию стационарно-неравновесной турбулентности 291 § ной термодинамики соотношениями типа тождеств Гиббса, Гиббса-Дюгема и т. п., которые служат исключительно в качестве ограничения на форму полу­ ченных определяющих (материальных) соотношений. Другими словами, пред­ полагается, что подобного рода тождества остаются справедливыми и вдали от локального термодинамического равновесия подсистемы хаоса, если, ха­ ос находится, однако, в устойчивом стационарно-неравновесном состоянии, которое и будет выбрано нами в качестве состояния отсчета. Данное осново­ полагающее допущение, является своего рода новым постулатом (см. П риго­ жин, 1960), на котором и будет основываться термодинамический подход к модельному описанию полностью развитой турбулентности. В связи с этим следует отметить, что поскольку энергия турбулентных движений благодаря молекулярной вязкости непрерывно рассеивается, то ситуация, при которой достигается локальное статистически равновесное состояние подсистемы тур­ булентного хаоса, в принциле оказывается невозможной. Вместе с тем, для стационарного течения турбулизованной жидкости, когда вязкая диссипация энергии за большое время в среднем компенсируется энергией от внешне­ го источника, стационарно-неравновесные процессы переноса в подсистеме турбулентного хаоса вполне допустимы и, по их физической сути, не очень отличаются от локально равновесных процессов в какой-либо диссипатив­ ной системе (заметим, что в рассматриваемом здесь случае справедлива так называемая Н теорема, согласно которой по истечении достаточно большо­ го времени всякое начальное состояние турбулентного хаоса приближается к стационарно-неравновесному состоянию [см. гл. 6] ).

При построении модели турбулентности мы будем использовать еще од­ ну ключевую концепцию теории Колмогорова ( 1941), согласно которой в пределе очень больших чисел Рейнольдса Re = Lu0jv и Пекле Ре = Lт И тоlх, отвечающих крупномасштабным движениям в потоке, несмотря на анизо­ тропность, неоднородность и нестационарность осредненного течения, слу­ чайный характер дробления вихрей (или макроструктурных неоднородностей температуры) и хаотичность передачи их энергии по каскаду вниз приво­ дят к тому, что статистический режим турбулентных флуктуаций в границах небольшой пространствеино-временной области осреднения G мгновенных значений гидродинамических параметров является почти локально изотроп­ ным - однородным, изотропным и квазистационарным, т. е. изменяющимся в зависимости лишь от управляющих параметров, и, прежде всего, от числа Рейнольдса Re. Оно определяет, в конечном счете, число каскадов в иерар­ хии вихрей различных порядков. Важно при этом подчеркнуть, что полной локальной изотропии из-за наличия мезомасштабных вихревых образований, естественно, быть не может. Здесь и0 и И то - типичные изменения средней скорости на расстояниях соответственно L и Lт; х, v - коэффициенты мо­ лекулярной температуропроводности и кинематической вязкости; Lт - рас­ стояние, на котором заметно меняется средняя температура. Далее будем для простоты полагать, что число Прандтля Pr = v/x имеет порядок единицы и L "" Lт; в этом случае границы инерционного и конвективного интервалов, в которых существенны эффекты молекулярной вязкости и молекулярной теп­ лопроводности можно считать совпадающими.

Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности Используем теперь методы расширенной необратимой термодинамики (см.

Жоу и др., 2006) и неравновесной статистической термодинамики (см., например, Кайзер, 1990) для получения определяюших (замыкающих) со­ отношений для термодинамических потоков и сил, которые с достаточной для практических целей эффективностью описывают различные процессы турбулентного переноса в координатном пространстве и процессы самоорга­ низации в фазовом пространстве.

Тождеству (5. 1.6) можно придать форму уравнения локального баланса осредненной энтропи и (S) системы, если исключить из него субстанциональ­ ные производные по времени от параметров (Е) и ( 1/р) с помощью осред­ ненных гидродинамических уравнений (5. 1.2) и (5. 1.4); в результате получим [см. соотношения (3.2. 14), (3.2.

и осредненного движения. Важно отметить, что величина a(s) (r, t) может быть разной по знаку в зависимости от конкретного режима турбулентного движения среды. Действительно, скорость диссипации турбулентной энер­ гии (сь (r, t)) всегда является положительной величиной. Однако скорость перехода энергии р' div и" (представляющая собой работу, совершаемую над турбулентными вихрями за единицу времени в единице объема окружающей средой, как следствие существования пульсаций давления и расширения (div и " 0), или сжатия (div и" О) турбулентных вихрей) может быть разной ь по знаку. Величина (.Т:,ur · (iГр/дr)) является положительной в случае мелко­ масштабной турбулентности, однако для крупно- и мезомасштабных вихрей она может быть как положительной, так и отрицательной (см., например, Колесниченко, Марав, 1999). Таким образом, из уравнения (5. 1.7) следует, что в общем случае осредненная энтропия турбулизованной среды (S) мо­ жет как возрастать, так и уменьшаться. Подобное обстоятельство является характерной чертой любых термадинамически открытых систем.

Это означает, что во внешне замкнутой турбулизованной системе, модели­ руемой двумя континуумами, имеет место некоторая внутренняя незамкну­ тость. Она возникает благодаря тому, что осредненное движение турбулиза­ ванной жидкости описывается только одним из двух континуумов. В то же время каждый физически бесконечно малый элемент объема dr Л3 (где Л ­ масштаб осреднения) среды считается все-таки настолько большим, чтобы в модели можно было учесть дополнительную информацию о характере пульса­ ционного движения (турбулентной надструктуры) на масштабах меньших или равных размеру математической точки. Отсюда, в частности, следует, что одной только осредненной энтропии (S) явно не достаточно для адекватно­ го описания всех особенностей структурированной турбулентности, посколь­ ку эта величина не связана с какими-либо параметрами, характеризующими внутреннюю структуру и термодинамику подсистемы турбулентного хаоса и, в частности, с таким ключевым параметром теории, как энергия турбулентно­ сти (осредненная пульсационная кинетическая энергия единицы массы среды) =. р(и " ) 2j2р.

(b(r, (5. 1. 10) t)) По этой причине для макроскопического описания структурированной турбулентности и, в частности, каскадного процесса переноса турбулентной энергии вихрями разного масштаба (вниз по интервалу размеров), будем ис­ пользовать далее известное обобщение формализма термодинамики необра­ тимых процессов на среды с внутренней структурой, вводя для этой це ­ ли обобщенные экстенсивные термодинамические параметры (внутреннюю энергию Eturь(r, t), обобщенные химические потенциалы flшrь(q, r, t) и т. п.) подсистемы турбулентного хаоса, связанные с пульсационным движением жидкости (Вlackadar, 1955), а также так называемые внутренние координа­ ты, отвечающие микроструктуре подсистемы. Другими словами, мы поступим аналогично тому, как это давно делается в неравновесной термодинамике, на­ пример, с целью учета различного рода превращений во внутренних степенях свободы молекул, в частности, учета ориентации полярных молекул относиГлава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности тельно внешнего электрического поля (как известно, это можно сделать, вво­ дя внутреннюю координату () - угол между направлениями поля и диполем), когда используется формализм обобщенного химического потенциала, равно­ го стандартному химическому потенциалу и полевому члену, зависящему от внутренней координаты () (см. Пригожин, 1960).

Внутренние координаты подсистемы турбулентного хаоса При моделировании стохастической системы, отвечающей подсистеме тур­ булентного хаоса, будем использовать формализм обобщенной статистиче­ ской термодинамики (Стратонович, 1985; Кайзер, 1990), предполагающий изучение статистического ансамбля макроскопически одинаковых подсистем хаоса с одними и теми же обобщенными экстенсивными параметрами со­ стояния типа осредненного удельного объема ljp(r, t), внутренней энергии Eturь (r, t) и энтропии Sturь (r, t) хаоса, а также некоторой бесконечной после­ довательностью внутренних переменных n(qk, r, t). Внутренние переменные n(qk, r, t) могут представлять собой концентрации мелкомасштабных вихрей (их число в единице объема) или температурных неоднородностей в состояни­ ях, характеризуемых заданными значениями параметров qk - внутренних ко­ ординат, определяющих микроструктуру системы. При этом будем предпола­ гать, что структурные вихревые образования хаоса каким-то образом локали­ зованы как в координатном пространстве r, так и в пространстве конфигура­ ций q. Внутренние координаты qk (r, t) (k = 1, п) - некоторые характеристики ансамбля вихревого (или температурного) хаоса, отвечающие мелкомасштаб­ ным турбулентным пульсациям, являются, в общем случае, случайными (сто­ хастическими) переменными, флуктуирующими относительно своих средних (стационарных) значений q%1 • Именно они служат мерой различий в любом множестве термадинамически тождественных подсистем вихревого ансамбля.

Учет флуктуаций внутренних координат, описывающих состояние хаоса при чисто динамическом моделировании [см. п. 5.2] уточняет его статистическое описание и приводит к более адекватному отражению реальности.

К числу стохастических внутренних координат, описывающих макроско­ пическое состояние турбулентного хаоса, могут быть отнесены непрерывно изменяющиеся локальные случайные параметры, адекватно характеризующих эволюцию завихренной жидкости, включая и пространствеино-временную эволюцию различных мезомасштабных когерентных образований. Таким об­ разом, часть внутренних координат qk может относиться к некогерентной составляющей подсистемы турбулентного хаоса, а друтая часть - ахарактери­ завывать индивидуальные КС. В частности, в качестве стохастических ко­ ординат qk (r, t) могут быть выбраны следующие положительно-определенные величины (или их логарифмы): кинетическая энергия вихрей, Ь lи " l 2 /2; ско­ = рость диссипации турбулентной энергии в тепло,

скорость смешения до молекулярного уровня (не влияющего на динамику течения) вещества с концентрацией O(r, t), Ее = х )дО" jдх)2 (заметим, что j величина Ее определяет меру неоднородности концентрационного поля, исче­ зающей в единицу времени за счет молекулярной диффузии D "" х); энстрофия системы (в случае двумерной турбулентности); средние завихренности поля пульсаций скорости, относящиеся к мезомасштабным вихревым образовани­ ям k-го типа (фундаментальные величины для характеристики КС), и т. п.

Использование внутренних координат в качестве дополнительных макро­ скопических параметров турбулентного хаоса, позволяет, как мы увидим да­ лее, термадинамически получить (при учете центрального для данного подхо­ да постулата Пригожина, касающегося направления протекания необратимых процессов в любом локальном объеме пространства внутренних координат (см. Пригожин, 1960; гл. 3, п. 1 1)) эволюционные уравнения Фоккера-План­ ка-Колмогорова (ФПК) в пространстве конфигураций qk. Эти кинетические уравнения, предназначенные для определения временной эволюции функции плотности распределения вероятностей различных стохастических мелкомас­ штабных характеристик турбулентности, позволяют проанализировать также и условия перехода из одного устойчивого стационарно-неравновесного со­ стояния турбулентного хаоса в другое, вызванные, в конечном счете, после­ довательной потерей устойчивости течения жидкости при изменении пара­ метров, управляющих режимом турбулентного движения в целом.

Отметим, что чисто классический (т. е. без введения внутренних стохасти­ ческих координат) термодинамический подход к моделированию турбулент­ ности, который бьш использован нами в гл. 3 для подсистемы турбулентно­ го хаоса, в случае структурированного вихревого континуума представляется не вполне адекватным, поскольку любые две реализации ансамбля (множе­ ства подсистем хаоса с одинаковым набором экстенсивных термодинамиче­ ских параметров состояния) будут при его применении тождественными во всех отношениях, что не отвечает реальному положению вещей. Причиной этому являются турбулентные флуктуации внутренних координат состояния хаоса, которые и служат, в конечном счете, мерой различий в любом ансам­ бле термадинамически тождественных подсистем хаоса. Собственно эти, не подавляемые в сильно неравновесных условиях, турбулентные флуктуации, а, напротив, усиливающиеся в определенных обстоятельствах внутренними необратимыми процессами внутри вихревой подсистемы в так называемых точках бифуркации (в которых подсистема может выбирать между различ­ ными состояниями), и приводят к разнообразным механическим проявлени­ ям реального турбулизованного течения. В частности, подсистема турбулент­ ного хаоса, находящаяся в некотором устойчивом стационарном состоянии вдали от локального термодинамического равновесия, при определенных зна­ чениях управляющих параметров может сместиться к новому стационарному состоянию с нейтральной устойчивостью (связанному с так называемой кри­ тической точкой потери устойчивости), и вслед за тем скачкообразно перейти в некоторое другое асимптотически устойчивое стационарное состояние, от­ вечающее той или иной форме надмолекулярного когерентного поведения Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности большого числа частиц, например, осцилляциям разномасштабных вихрей.

Напомним еще раз, что согласно Пригожину (Пригожин, Стенгерс, 1994), по­ добная способность осушествnять порядок через флуктуации является фун­ даментальным свойством любых открытых неравновесных термодинамиче­ ских систем. Таким образом, из-за постоянно происходящих турбулентных пульсаций любое квазистационарное состояние турбулентного хаоса удобно представnять себе, как состояние не одной отдельной подсистемы, а цело­ го физического ансамбля подсистем. Именно по этой причине и возникает необходимость в уточнении термодинамического описания турбулизованного течения с тем, чтобы можно было бы учесть эффекты стохастичности моде­ лирующего его вихревого континуума (Колесниченко, 2002).

В соответствии с развиваемым здесь стохастико-термодинамическим под­ ходом будем предполагать, что для полного статистического описания слу­ чайного векторного процесса q(r, t) в турбулизованном континууме (набора структурных мелкомасштабных характеристик хаоса qk (r, t), где k = 1, n, ко­ торые часто удобно собрать в один вектор-столбец q в п-мерном простран­ стве конфигураций) достаточно знать одноточечную плотность вероятности (q, t) и совместную двухточечную плотность распределения вероятности W2 (q0, t0 ; q, t). Как известно, случайные процессы, полностью описываемые только этими двумя функциями распределения, являются марковекими про­ цессами. Можно сказать, что это кардинальное предположение определяет класс случайных процессов (турбулентных флуктуаций), к которому приме­ нима анализируемая здесь стохастико-термодинамическая модель развитой турбулентности. Будем также использовать двухточечную плотность услов­ ной вероятности, P2(q0, t0 1q, t), которая позволяет найти вероятное значение параметра q в момент времени t, если в момент времени t0, с вероятностью равной единице, q = q0. Эти плотности вероятности будем употреблять для по­ лучения средних значений различных функций f(q(t)) от случайного вектора состояния q(t) : в частности, формула

вводит среднее значение f(q( t) ) в момент времени при условии, что f(q(t0)) = = f(q0) (условное среднее). Связь между средними значениями по условному подансамблю f(q( t)) и по всему физическому ансамблю f(q(t)) неявно содержится в соотношении которое, собственно, и определяет так называемую функцию вероятности пе­ рехода Р2.

Кроме этого, ограничим наше рассмотрение, стационарным физическим ансамблем турбулентного хаоса, состоящим из адекватных в указанном выше смысле подсистем, поддерживаемых непрерывно действующими внешними § 5.1. Синергетический подход к описанию стационарно-неравновесной турбулентности 297

причем последнее соотношение означает, что для стационарных процессов условная плотность асимптотически со временем перестает зависеть от на­ ч ального условия.

Основное кинетическое уравнение Напомним, что ключевое положение теории Колмогорова ( 1941) возник­ новения мелкомасштабной турбулентности состоит в том, что процессы воз­ буждения вихревых образований, их нелинейные взаимодействия, а также процессы вязкой диссипации турбулентной энергии строго разнесены в про­ странстве волновых чисел, когда приток энергии в турбулизованный поток происходит вблизи волнового числа kL, соответствующего макромасштабу турбулентности L, а диссипация энергии становится эффективной вблизи волнового числа k1J (где tJ - микромасштаб турбулентности, называемый ча­ сто масштабом Колмогорова). Другими словами, присутствие инерционного интервала масштабов (kL « k « k1J) является характерным признаком развитой турбулентности. При этом процесс передачи энергии от крупномасштабных турбулентных вихрей к малым вихрям, может быть наглядно представлен как каскадный процесс их дробления (заметим, что впервые идею каскада энер­ гии вьщвинул Л. Ричардсон в 1 922 году).

Для дальнейших целей нам понадобится так называемое основное кинети­ ческое уравнение для скорости изменения числа вихревых молей n(q) в кас­ кадном процессе взаимодействия турбулентных движений разного масштаба, или для функции P2 (q, t) = n(q)/n, которая имеет смысл (условной) плотно­ t, если в начальный момент (при t = О) она с вероятностью, равной единице, сти вероятности обнаружить систему в интервале (q, q + dq) в момент времени находилась в состоянии qst. Здесь

с переходом кинетической энергии от крупных вихрей ко все более мелким, таков, что среда сохраняет память только лишь о последнем переходе (мар­ ковский процесс).

Термодинамика подсистемы структурированного хаоса Мы видели, что процесс передачи турбулентной энергии по каскаду вихрей в случае развитой турбулентности можно рассматривать как своего рода хи­ мические превращения с соответствующим химическим потенциалом.Uturь (q) для внутренних степеней свободы q и химическим сродством де Донде которое можно трактовать, как движущую силу каскадного процесса, отве­ чающую протеканию одного эквивалента n(q) --+ n(q + дq) процесса дробле­ ния вихрей. Заметим, что понятие химического потенциала отличает боль­ шая общность: оно применимо почти к любой модели сплошной среды, если для нее возможно введение тем или иным способом понятия термодинамиче­ ской температуры (не являющейся в общем случае абсолютной температурой среды).

Распространяя формализм химического потенциала на стационарно­ неравновесный турбулентный хаос, будем определять интенсивные термо­ динамические параметры, такие как обобщенные температура urь (r, t) и давление Pturь (r, t) турбулизации (которые никак не связаны с молекулярной температурой и давлением лежащего в основе течения), а также турбулентный химический потенциал.Uturь (q, r, t) для внутренних степеней свободы q, из фундаментального соотношения Гиббса для обобщенной энтропии (заданной а priori в виде характеристической функции (5. 1. 14)

(5. 1. 1 5) Химический потенциал.Uturь (q) для внутренних степеней свободы определя­ ется в общем случае, как функциональная производная. Используемая здесь ЭНТрОПИЯ турбулизаЦИИ Sturb СОдерЖИТ ПО ПреДПОЛОЖеНИЮ ВСе терМОДИНаМИЧе­ СКИе сведения о подсистеме стационарно-неравновесного турбулентного хао­ са, т. е. связана с устойчивостью, флуктуациями и динамическими изменениями в квазистационарном состоянии точно так же, как равновесная энтропия какой-либо термодинамической системы в лакальна равновесном состоянии (Кайзер, 1990). Одна из замечательных особенностей энтропии Sturь состоит и в том, что многие статистические свойства турбулентного хаоса в квази­ стационарных состояниях могут быть выведены из этой величины. В частно­ сти, различные алгебраические соотношения для интенсивных переменных Eturь (r, t), Tturь (r, t), Pturь (r, t) и.Uturь (r, t), которые могут быть получены обыч­ ным для термодинамики способом из соотношения (5. 1. 1 5), допустимо ин­ терпретировать как специфические «уравнения состояния для подсистемы турбулентного хаоса.

300 Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности Важно ясно себе представлять, что применимасть понятий температуры и энтропии турбулизации не ограничивается только теми ситуациями, ко­ торые возникают вблизи состояния локального термодинамического равно­ весия подсистемы турбулентного хаоса. Напротив, эти величины вводятся в рассмотрение как раз с целью термодинамического описания хаоса в стаци­ онарно-неравновесных состояниях. Еще раз отметим, что обобщенная эн­ тропия турбулентности Sturb в этом подходе, в отличие от локальной равно­ весной энтропии подсистемы осредненного движения (S), остается, вообще говоря, неопределенной величиной, относительно которой не существует ни­ каких экспериментальных или теоретических (основанных на знании физики турбулентного хаоса) методов для установления ее подлинной функциональ­ ной зависимости от параметров состояния. Эта величина вводится в теорию исключительно с целью обеспечения ее связности, а явный вид функциональ­ ного уравнения (5. 1. 14) постулируется в зависимости от целей модели.

Дифференциальная форма фундаментального соотношения Гиббса для эн­ тропии турбулизации SturЬ' записанная вдоль траектории движения центра масс физически элементарного объема dr, принимает следующий вид (см.

Пригожин, Кондепуди, 2002)

f!Jlp Tturь ' f.lturь (q, Tturь ) = kв TturЬ ln n (q) + Ф (q, Tturь ), Pturь = f!JlpTturь' р(Ь) = (5. 1. 1 8) где f!Jl ( = nakвfii) - «газовая постоянная для вихревого континуума, kв - по­ стоянная Больцмана, Ф(q, T urь ) - так называемая потенциальная энергия по внутренней координате q, зависящая в общем случае и от температуры тур­ булизации Tturb.

Отметим сразу, что в некоторых случаях можно исключить из выражения (5. 1. 1 8) потенциальную энергию Ф(q), используя для этой цели заданное а priori равновесное распределение f21 (gq) внутренних координат q, соответству­ ющее какому-либо асимптотически устойчивому стационарному состоянию турбулентного хаоса. Ранее уже отмечалось, что поскольку энергия турбулент­ ных движений благодаря вязкости непрерывно рассеивается, то ситуация, при которой достигается статистически равновесное состояние, здесь оказывается невозможной. Стационарное же состояние в отличие от равновесного обыч­ но является диссипативным. Действительно, из термодинамики известно (см., § 5.1. Синергетический подход к описанию стационарно-неравновесной турбулентности 301

где бп = n(q) - n(q5t ). Поскольку полное число вихревых молей постоя нно, име­ ем также J бn(q)dq = О. Из этих двух условий следует, что для устойчивого ста­ ционарного состояния турбулентного хаоса химический потенциал.игь (q) по внутренним координатам, не зависит от вектора состояния q (.иrь = const). С использованием этого факта, можно получить выражение (5. 1. 1 9) позволяющее определить химический потенциал по заранее известному ста­ ционарному распределению n(qst ) признака q. Соотношение (5. 1. 1 9) может быть переписано в виде (5. 1. 1 9*) являющемся обобщением известной формулы Эйнштейна (для статистиче­ ски равновесного состояния) на квазистационарные состояния в конфигу­ рационном пространстве q; при написании формулы (5. 1. 1 9*) использовано следующее выражение

определяет (максимальную) вероятность устойчивого стационарного состоя­ ния qst, когда флуктуирующие внутренние координаты q остаются неизмен­ ными, а функция Ф(q, uгь ) играет роль термодинамического потенциала для стационарного состояния.

Напомним, что в равновесной термодинамике не делается различия меж­ ду двумя концепциями равновесия - равновесным состоянием, отвечающим Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности максимальной энтропии, и равновесным распределением по возможным со­ стояниям, которые физически почти эквиваленты (см., например, де Грот, Мазур, 1964). Аналогичная ситуация справедлива и для стационарных состо­ яний в термодинамике неравновесных процессов (Кайзер, 2002). Это связано с тем, что асимптотические плотности распределения вероятности состояний сосредоточены в чрезвычайно узкой области и в термодинамическом пределе эти гауссавекие величины [см. далее] переходят в дельта-функции, сосредо­ точенные в qst.

Используя уравнение (5. 1. 1 3*), преобразуем тождество Гиббса (5. 1.

1 6), пу­ тем интегрирования по частям и в предположении, что поток J(q, r, t) обра­ щается в нуль на обеих границах q 1 и q2 области определения переменной q q2 ql J Dn(q)dq = 0), (следствие условия к виду:

q q описывает суммарный рост энтропии турбулизации Sturb ' обусловленный необратимыми процессами возникновения разнообразных вихревых струк­ тур, характеризуемых полным набором внутренних координат q. Из (5. 1.2 1 ) видно, что локальное производство пульсационной энтропии (J/ Sturь), отвеча­ ющее каждой части пространства внутренней координаты q, имеет обычную термодинамическую форму

- обобщенное химическое сродство де-Донде для конфигурации q (функция состояния подсистемы турбулентного хаоса), записанное здесь с учетом соот­ ношения (5. 1. 1 5) для обобщенного химического потенциала llturь (q, r, t).

- локальное производство энтропии, связанное с необратимыми процессами внутри суммарного турбулизованного континуума. Величина ai-, записанная с 304 Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности учетом формул (5. 1.8), (5. 1.9) и (5. 1.24), (5. 1.25) имеет структуру билинейной формы

(см., например, Кайзер, 1990). Важно подчеркнуть, что матрица феноменоло­ гических коэффициентов Л/3 для случая турбулизованного жидкостного кон­ тинуума будет зависеть не только от осредненных параметров состояния си­ стемы (т. е. от осредненных температуры ( Т), плотности 75 и т. п.), но и от характеристик турбулентной надструктуры, т. е. от параметров типа Еь, Tturb' ( Ь) и т. п. Подобная ситуация, когда имеет место функциональная зависимость коэффициентов Л от самих термодинамических потоков ai (например, от /3 скорости диссипации Еь, которая в стационарном случае представляет собой также и поток энергии по каскаду вихрей), является, как известно, типичной для самоорганизующихся систем (см., например, Хакен, 1985; 1991). Это об­ стоятельство может привести в общем случае к тому, что отдельные слагаемые a(r, t)Xa(r, t) в сумме а2- не будут положительно определенными, хотя вся сумма всегда больше или равна нулю, а2- ;;;. О. Тогда суперпозиция различных потоков в принципе может приводить к отрицательным значениям отдельных диагональных элементов матрицы Аа/3' чем, вероятно, и объясняется эффект отрицательной вязкости, в некоторых турбулентных течениях [см. текст под формулой (5. 1.63)].

Как видно из выражения (5. 1.29), в обшем случае спектр возможных пере­ крестных эффектов для турбулентного режима течения расширяется по срав­ нению с ламинарным режимом. Так, например, возникновение суммарного 2потока тепла q в турбулизованном континууме возможно под влиянием не только сопряженной с ним термодинамической силы д( l /( Т) )/дr), но и под воздействием силы д( l / urь )/дr), сопряженной с потоком Jtu rь (описывающим "диффузионный"перенос турбулентной кинетической энергии). Однако в на­ стоящее время отсутствуют надежные экспериментальные данные, количе­ ственно описывающие перекрестные эффекты подобного рода. Кроме этого, обычно вклад любых перекрестных эффектов в общую скорость какого-либо процесса на порядок меньше по сравнению с прямыми эффектами (см. де рот, Мазур, 1964). Учитывая это обстоятельство, будем далее пользоваться Г Синергетический подход к описанию стационарно-неравновесной турбулентности § 5.1.

от друга, а также, без специальных оговорок, будем опускать ряд перекрестных эффектов в линейных конститутивных соотношениях (5. 1.30).

В конце данного раздела сделаем следующее замечание. Последнее сла­ гаемое в правой части (5. 1.29), описывающее производство энтропии вну­ три суммарного континуума за счет необратимого обмена энтропией между подсистемами турбулентного хаоса и осредненного движения, в силу второго закона термодинамики всегда положительно (5. 1. 3 1 ) Поэтому «направление термодинамического потока Е ь (r, t) определяется ' знаком функции состояния X;s = ( 1 /( Т) - 1/urь), которую следует рассматри­ вать как сопряженную термодинамическую силу (макроскопическую причи­ ну), вызывающую поток Е ь энтропии. Известно (см. Пригожин, Стенгерс, 1994), что подобный обмен Энтропией между двумя взаимно открытыми под­ системами является непременным условием структурированного коллективного поведения, т. е. может быть источником самоорганизации в одной из них.

5.1.4. Стационарио-неравновесное состояние турбулентного поля.

Определяющие соотношения для структурированной турбулентности Покажем теперь, что диссипативная активность подсистемы турбулентного

мы осредненного движения. Действительно, поскольку турбулентность сопровождается диссипацией кинетической энергии, то для поддержания ее квази­ стационарного режима (когда накачка и диссипация энергии взаимно почти уравновешиваются) необходим постоянно действующий внешний (по отно­ шению к рассматриваемой системе) источник. Этим источником энергии мо­ жет быть, например, проволочная решетка, установленная перпендикулярно к вынужденному течению жидкости, производящая турбулентность; стацио­ нарные граничные условия, вызывающие крупномасштабный сдвиг скорости течения или термаконвективную крупномасштабную неустойчивость и т. п.

Мощность подобного источника должна быть такой, чтобы скомпенсировать расход турбулентной энергии, рассеиваемой за счет молекулярной вязкости.

Для квазистационарного режима турбулентности практически вся расходуе­ мая энергия без сколько-нибудь существенных (но, вообще говоря, имеющих место быть) потерь будет передаваться через инерционный интервал от энер­ гетического к вязкому интервалу, где и происходит ее диссипация в тепло.

При этом, процесс передачи энергии от крупномасштабных к малым вихрям, может быть наглядно представлен как случайный каскадный процесс Ричард­ сона-Колмогорова дробления турбулентных вихрей.

В развиваемом здесь модельном подходе мы будем предполагать, что по­ добному квазистационарному режиму турбулентности отвечает непрерывный Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности процесс передачи энергии от подсистемы осредненного движения жидкости к подсистеме турбулентного хаоса. Очевидно, что тогда в вихревом контину­ уме, связанном с мелкомасштабной турбулентностью, устанавливается такой стационарно-неравновесный режим между притоком энергии от внешнего источника (обязанного осредненному течению жидкости) и ее диссипаци­ ей (из-за необратимых процессов внутри самой подсистемы турбулентного хаоса), при котором dS1urьfdt О (см. Пригожин, Кондепуди, 2002). Заметим попутно, что для открытой подсистемы турбулентного хаоса квазистационар­ ное состояние, для которого производство энтропии минимально, является аттрактором, в то время как для всей турбулизованной системы в целом ат­ трактором служит состояние, соответствующее максимуму суммарной энтро­ пии. Условие dSturьfdt О означает, что производство а энтропии турбулиturЬ –  –  –

т. е. подсистема турбулентного хаоса должна экспортировать энтропию во внешнюю среду» (отдавать ее подсистеме осредненного движения), чтобы скомпенсировать производство энтропии за счет необратимых внутренних процессов внутри себя. Другими словами для поддержания стационарно­ неравновесного состояния внутри подсистемы турбулентного хаоса необхо­ дим приток отрицательной энтропии (негэнтропии) от внешней среды, = -5Е ьf urb = - ( Т)a(s) / Tturb 0.

e as ' turb Как известно, такого рода условие является достаточным для возникновения диссипативных когерентных образований в вихревом континууме (см. Приго­ жин, Стенгерс, 1986, 1994). Действительно, поскольку в стационарно-нерав­ новесном состоянии хаоса величина оттока энтропии из подсистемы осред­ ненного движения положительна (О a(s) = 5 Е, ьl( Т) ), то скорость 5 Е,ь обмена энтропией (теплом) между осредненным и турбулентным движениями также положительна, 5 Е ь :;;,. О. Но тогда из неравенства ( 5. 1. 3 1 ) следует, что темпе­ ратура турбулизаriии urь выше осредненной температуры турбулизованной жидкости ( T1urь ( Т) ), что находится в полном согласии с основным синер­ гетическим принцилом о самоорганизации диссипативной системы. В соот­ ветствии с этим принципом, возникновение когерентных структур (в нашем случае возникновение разномасштабных когерентных вихревых образований в подсистеме турбулентного хаоса) при отводе тепла из системы, т. е. при переходе к более низким температурам, является универсальным свойством материи (Эбелинг, 2004).

§ 5.1. Синергетический подход к описанию стационарно-неравновесной турбулентности 307

qturb р'и" - суммарный поток тепла в подсистеме осреднен­ Здесь q"L (r, t) = ного движения для режима развитой турбулентности. Исходя из (5.

1.33), мож­ но записать в линейном приближении и при использовании принцила Кю­ ри-Пригожина (согласно которому связь между тензорами различного ранга в лакальна изотропной среде невозможна (см., например, де Г рот, Мазур, 1974)), следующие определяющие (градиентные) соотношения для турбулент­ ных потоков и сопряженных им термодинамических сил:

соответствующие режиму стационарного состояния турбулентного поля. За­ метим, что условие линейности не настолько сильно, чтобы лишить рассмат­ риваемый случай практического значения.

Оценивая состояние проблемы замыкания осредненных гидродинамиче­ ских уравнений в целом, следует признать, что в настоящее время почти все полуэмпирические модели турбулентности в той или иной степени основа­ ны на градиентных соотношениях, о чем подробно говорилось в гл. 3 и 4.

Феноменологические коэффициенты (коэффициенты турбулентного обмена) лtиrь(r, vturb (r,

t) в этих соотношениях являются скалярными величинами, t), поскольку сильная турбулентность, является, как бьmо подчеркнуто, лакальна однородной и изотропной. Эти величины, в отличие от коэффициентов моле­ кулярного обмена, не являются материальными константами. Данное обсто­ ятельство связано с тем, что в турбулизованном континууме разнообразные процессы переноса (вещества, импульса и энергии) из одной области систе­ мы в другую, определяются коллективными движениями молекул (вихревыми Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности

K(q) = L(q) ·/(q), D = с2 L(q) = +c2 Q, Q(q) = 2L(q). (5.1.40) Функция P2 (q, t) = n(q)/n. L имеет смысл (условной) плотности вероятности об­ наружить систему в интервале (q, q + dq) в момент времени t, если в началь­ ный момент (при t =О) она с вероятностью, равной единице, находилась в состоянии qst. Параметр с= уkв ?;игь = Vр(и " ) 2 jJp характеризует суммарную интенсивность воздействия внутреннего шума подсистемы турбулентного ха­ оса (порожденного его «тепловой структурой) на случайный процесс q(t).

При написании (5. 1.39) параметр подвижности L(q) =L(q)/n(q) по внутрен­ ней координате q считался нами не зависящим в первом приближении от плотности n(q). Следует отметить, что в общем случае матрица К не образует, вообще говоря, вектор, если не ограничиваться при моделировании только линейными преобразованиями координат.

Наряду с кинетической формой записи уравнения ФПК в виде (5. 1.39), в литературе используются и другие представления этого уравнения. Из них наибольшую популярность имеют представления Ито и Стратоновича. Они основаны на разной трактовке так называемых стохастических интегралов (см., например, Тихонов, Миронов, 1977), возникающих при решении соответ­ ствующих нелинейных стохастических уравнений Ланжевена. Эти представ­ ления, хотя и основываются на одинаковых по форме стохастических уравне­ ниях [см.

(5.2.23) ], но приводят к отличным по форме уравнениям ФПК:

дР2 (q, r, t) _i_. ( ( и)Р2 (q, r, t)) = + дr дt = : · < - (K(q) + H(q)) P2 (q, r, t) + +с2 : · (Q(q)P (r, r, t)) >, (5. 1.39* ) q q где H(q) =Л ; дq) - фиктивная сила, зависящая от выбора исчисления.

Е При Л = О, 1/2, 1 мы имеем дело соответственно с представленнем уравнения ФПК в форме Ито, Стратоновича и Климонтовича.

Отметим, что если реакция подсистемы турбулентного хаоса на воздей­ ствие внешней среды (подсистемы осредненного движения) не зависит от ее q, то и ве­ внутреннего состояния, задаваемого стохастической переменной личина коэффициента диффузии не меняется с координатой (т. е. q Q(q) = = Q).

= Тогда можно считать, что стохастическая система ооладает адди­ const тивным шумом, который в нашем случае сводится просто '!( интенсивности с2= kв I;urЬ внутреннего шума подсистемы турбулентног хаоса. Фиктивная 310 Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности сила H(q) для систем подобного типа тождественно равна нулю, т.е. они со­ вершенно нечувствительны к выбору исчисления. Другими словами, все три формы уравнения Ф П К принимают для них один и тот же простейший вид (5. 1.39). Однако в общем случае возможна обратная связь между внутренними состояниями q стохастической подсистемы хаоса и подсистемой осредненно­ го движения. Оказывается, что не только внешние флуктуации (связанные, например, с теми степенями свободы турбулентного поля, которые не описы­ ваются вьщеленными координатами q) влияют на стохастическую подсистему турбулентного хаоса, но и последняя оказывает обратное воздействие на их интенсивность. Применительно к рассматриваемому случаю это означает, что коэффициент диффузии приобретает зависимость от случайной координаты q, т. е. внешние флуктуации имеют мультипликативный характер. При нали­ чие мультипликативного шума, когда Q(q) =f. const, простейшая форма уравне­ ния ФПК (5. 1.39) имеет место только в представлении Климонтовича (Л = 1 ).

Таким образом, для систем с мультипликативным шумом возникает про­ блема выбора исчисления, поскольку сила, входящая в уравнения ФПК опре­ деляется неоднозначным образом. В исчислении Ито она сводится к реальной силе, действующей на вьщеленную степень свободы. При переходе к исчис­ лению Стратоновича возникает добавка, пропорциональная производной от эффективного коэффициента диффузии. В кинетическом представлении Кли­ монтовича величина этой добавки удваивается. Важно, что она существенным образом влияет на поведение стохастической системы, в результате чего пред­ ставляется актуальным вопрос о физической природе указанной добавки и выборе исчисления. К этой проблеме мы вернемся в следующей главе.

5.1.6. Примеры уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, описывающих эволюцию пульсирующих характеристик турбулентного хаоса Покажем теперь (на простых примерах), что пригожинский принцип (5. 1.37) может служить основой для получения эволюционных уравнений в частных производных (уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова) в про­ странстве стохастической переменной q для функций распределения различ­ ных стохастических характеристик мелкомасштабной турбулентности, если относительно последних заранее приняты соответствующие гипотезы распре­ деления в стационарно-неравновесном состоянии. Следует, однако, иметь в виду, что почти всегда подобного рода гипотезы не вполне строги и являются сильной идеализацией, связанной с упрощением реального турбулентного движения в естественных условиях (см. Монин, Яглом, 1996).

Эволюция вихрей в пространстве пульсирующих скоростей Применим сначала предположение (5. 1.37) к выводу кинетического урав­ нения, описывающего изменение во времени функции плотности вероятно­ сти распределния вихревых скоростей Р2 (и"r, t) (= п(и", r, t)jп2.; n - число­ вая плотность турбулентных вихрей; n2. - полное число вихревых молей [см.

(5. 1. 12)]). Эта фун:rщия рассматривается далее как внутренняя персменная § 5.1. Синерrетический подход к описанию стационарно-неравновесной турбулентности

Это динамическое уравнение, дополненное начальным условием Р2 = б(и" - О) (справа стоит б-функция, сосредоточенная в точке 0), описывает временную эволюцию функции плотности распределения вероятности Р пульсирующей Глава 5. Стохастико -термодинамиче ское моделирование развитой турбулентности

где среднее берется по стохастическому процессу (см., например, Хакен, 1985).

Здесь W2 (и ", t; и(', t1 ) - совместная плотность вероятности, которая в силу марковости процесса зарождения новых мод пульсационного движения (дроб­ ления вихревых образований) представляется в виде произведения плотности вероятности в момент ti ' W1 (и;', t1 ), и условной вероятности Р2 (и", t 1 и(', t1 ) (сводящейся в момент t t1 к б-функции б( и" - и(')):

W2 (и", t; и ; ', t1 ) Так как D=2a.cnтturь = з a(b), то из (5. 1.48) следует, во-первых, верное соотношение согласующееся с предположением о локальной изотролиости вихревого по­ ля скоростей в случае развитой турбулентности, и, во-вторых, эффективная к § 5. 1. Синерrетическнй подход описанию стационарно-неравновесной турбулентности 313 формула для одной из наиболее важных корреляционных величин в теории статистической турбулентности и"(r, t)и"(r, t1 ) = (Ь) exp(-alt - t11 ), (5. 1.49) которая определяет быстроту «забывания своего прошлого пульсационной скоростью (согласно этой формуле это происходит за время порядка t r;;. 1/а).

Решение (5. 1.45) при нулевых значениях параметров а0 и Ь0 принимает

2.Л T,urьl l u-exp( -2at)] ' Р2 (и", t) = <2л.9f Tturь [ l - exp(- 2at)]>l /2 ехр (5. 1.50) позволяющий проследить временную эволюцию функции распределения условной вероятности для пульсирующей скорости, в случае если при стационарном режиме турбулентности распределение по скоростям бьшо гауссовским.

Следует иметь в виду, что выбор пульсирующей скорости и" в качестве подходящей характеристики турбулентных вихрей (внутренней координаты подсистемы турбулентного хаоса), в общем случае не оправдывает себя, по­ скольку гауссовское распределение вероятностей пульсирующей скорости и" не подтвердилась с достаточной степенью надежности ни экспериментально (было установлено, например, что за решеткой отклонение от нормально­ сти значительно возрастет с ростом числа Рейнол:ццса Re), ни теоретически (как известно, для этого распределения классические законы турбулентности «двух и пяти третей нарушаются). Ранее мы уже указывали, что наиболее приемнемыми характеристиками мелкомасштабной турбулентности на роль внутренней координаты являются неотрицательные макроскопические пере­ менные - четные функции скоростей, типа скорости диссипации турбулент­ ной энергии и т. п. (см., например, Монин, Яглом, 1996). Подобные случайные характеристики, согласно гипотезе Колмогорова, асимптотически удовлетво­ ряют логарифмически нормальному распределению вероятностей. Это объяс­ няется тем, что процесс последовательного дробления вихревых образований подобен процессу коагуляции твердых частиц (а последний приводит, как из­ вестно, к логнормальному распределению частиц по размерам). Далее в гл. 6 мы проанализируем уравнение ФПК, описывающее временную эволюцию функции распределения вероятностей для скорости диссипации турбулентной энергии в соответствующем конфигурационном пространстве. Но уже здесь отметим, что логнормальное распределение не описывает аккуратно края ис­ тинного распределения случайной переменной и поэтому лишь с большой осмотрительностью может бьпь использовано для вычисления старших моментов.

Каскадный процесс (термодинамическое рассмотрение, соответствующее первоначальным гипотезам подобия Колмогорова) Применим теперь пригожинский принцип (5. 1.37) к выводу кинетического уравнения, описывающего временную эволюцию функции распределения ви­ хрей в пространстве кинетической энергии. Будем описывать каскадный про­ цесс Ричардсона-Колмогорова (крупные вихри ---* мелкие вихри ---* теплота), используя аналогию с процессом последовательных химических реакций.

Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности

- химическое сродство процесса дробления вихрей (функция состояния под­ системы турбулентного хаоса); f(q) = -дФjдq - так называемая сила трения;

а' = -Lqln(q) - коэффициент подвижности, который по предположению не зависит от q.

В том случае, когда в турбулизованной среде устанавливается такой стаци­ онарно-неравновесный режим течения, при котором скорость передачи энер­ гии по каскаду постоянна, t:(q, r, t) (t:(r, t)) (это предположение, принятое к 315 описанию стационарно-неравновесной турбулентности § 5.1. Синергетический подход

Таким образом, глубокая аналогия, существующая между консекутивными химическими реакциями (А --+ В --+ С --+ и т. д.) и каскадным процессом Ри­ чардсона-Колмогорова дробления вихрей с соответствующими химическим потенциалом и химическим сродством, позволяет провести методами расши­ ренной необратимой термодинамики макроскопическое описание структури­ рованной турбулентности, как процесса самоорганизации в открытой систе­ ме. Использование двух интерпретаций параметра Колмогорова с, как вели­ чины, описывающей скорость диссипации энергии в тепло, и одновременно в стационарно-равновесном случае являющейся скоростью передачи турбулент­ ной энергии по каскаду вихрей, позволило получить при термодинамическом моделировании структурированной турбулентности определяющие соотноше­ ния для ключевой характеристики турбулентного поля - скорости диссипа­ ции турбулентной энергии (с). Напомним, что в теории Колмогорова ( 1941) эта величина является постоянной и носит название параметр Колмогорова.

Соотношения (5. 1.59) и (5.1.60), замыкающие систему осредненных гидроди­ намических уравнений (5. 1.2)-(5. 1.5), делают термодинамический подход к моделированию развитой турбулентности в известной степени самодостаточ­ ным. При последующей конкретизации в задачах численного моделирования разнообразных природных явлений, развитый выше синергетический под­ ход к описанию стационарно-неравновесной турбулентности очевидно дол­ жен получить свое дальнейшее уточнение и развитие.

Сделаем теперь важное замечание. На первый взгляд, условие возрастания энтропии суммарного континуума (5. 1.33) должно было бы, по аналогии с ламинарным движением жидкости, накладывать определенные ограничения на коэффициенты турбулентного переноса в определяющих соотношениях (5. 1.34), (5. 1.35) и (5. 1.59). Известно, что именно из условий подобного рода вытекает положительная определенность прямых коэффициентов молекуляр­ ного обмена; при этом перекрестные коэффициенты могут быть разными по знаку (см., например, Ландау, Лифшиц, 1988). Подставляя соотношения (5. 1.34), (5. 1.35) и (5. 1.59) в выражение (5.

1.33) для производства суммарной энтропии турбулизованной системы, получим:

< ( д \;Т) ) 2 2 >(D O al: = () лturь + pvtигb - +(div(u))U) + ра'(Аrь ) 2. (5. 1.63) Как уже ранее отмечалось, особенность специфики взаимодействия (связан­ ная с функциональной зависимостью турбулентных коэффициентов переноса от параметров (с) и (Ь)) различных диссипативных процессов в турбулиза­ ванном континууме такова, что «отключение одной из термодинамических сил (например, сродства Ag1 ь может привести к изменению (или даже «OTtur ключению) каких-либо других процессов (например, вязких). Это означает, что второй закон термодинамики, требующий положительности всей суммы (5. 1.63) в целом, не может, вообще говоря, быть применен к отдельным ее слагаемым. Таким образом, может случиться, что, например, величина ( 2 ;оvtигь D - +(div ( и)) U) О,

5 1. Синергетический подход к описанию стационарно-неравновесной турбулентности §.

а'Х. ). О. А п р и условии что сумма это указывает н а возможность существова­ ния таких турбулентных режимов течения, д;IЯ которых коэффициент турбу­ vtи rb О.

лентной вязкости отрицателен, Приведеиные соображения являются термодинамическим обоснованием вероятности появления эффекта отрица­ тельной вязкости в турбулентных течениях жидкости.

С учетом важности развиваемого подхода, представляется полезным сум­ мировать основные результаты настоящего параграфа. В развитие работ Колесниченко, ( Kolesnichenko, Marov, 1985; 1998; Marov, Kolesnichenko, 2001) было проведено стохастико-термодинамическое рассмотрение развитой тур­ булентности в однородной жидкости и сконструирована феноменологическая модель структурированной турбулентности, как процесса самоорганизации в открытой системе. Представление турбулизованного континуума в виде термодинамического комплекса, состоящего из двух взаимно открытых под­ систем - подсистемы осредненного движения и подсистемы турбулентного хаоса, рассматриваемого, в свою очередь, как ансамбль вихрей различных пространствеино-временных масштабов, позволило получить методами тер­ модинамики с внутренними переменными определяющие соотношения д1IЯ в турбулентных потоков и сил в подсистеме турбулентного хаоса, находящейся неравновесно-стационарном состоянии. Введение в рассмотрение ряда до­ полнительных случайных параметров среды, характеризующих возбужденные макроскопические степени свободы сильно турбулизованного континуума, позволило, при использовании постулата Пригожина (касающегося направ­ ления необратимых процессов, локализованных в пространстве конфигу­ раций), получить различные кинетические уравнения Фоккера- Планка­ для Колмогорова функций распределения мелкомасштабных характеристик турбулентности и термадинамически описать колмогоровекий каскадный процесс. Вместе с тем, наиболее глубокое понимание феноменологии каскада Колмогорова, возможно лишь на пути учета большого числа статистически q, всесторонне характеризую­ коррелированных стохастических процессов щих вихревые пространствеино-временные образования. Проведенный здесь упрощенный термодинамический анализ квазистационарной турбулентности и построенная на его основе идеализированная макроскопическая модель, позволяют, тем не менее, расширить наши представления о свойствах от­ крытых диссипативных гидродинамических систем, являющихся объектом изучения одного из в ажнейших и быстро р азвивающихся направлений мели­ нейной динамики, включающего в себя эволюцию хаотических движений и формирование упорядоченных днесипатинных структур.

Интересно, что двойственный характер необратимых процессов, приводя­ щих к беспорядку вблизи равновесия и к упорядоченности вдали от рав­ новесия, наглядно проявляется и при анализе современных проблем тур­ булентности макромира во всем разнообразии пространствеино-временных масштабов, отвечающих, в частности, происхождению и эволюции Вселен­ ной, звездной и планетной космогонии, а также процессам в газовых оболоч­ ках небесных тел и формированию экосистем, в которых возможны каскады С нашей точки зрения, благода­ пространствеино-временных конфигураций.

ря развиваемому здесь подходу к моделированию структурированного турбуГлава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности лентнаго хаоса гораздо более емким и глубоким становится и само понятие энтропии. Процитируем в этой связи еще один небольшой фрагмент из кни­ ги (Пригожин, Стенгерс, 1994): «Ясно, что сказанное - не более чем начало, но оно очень существенно, поскольку иллюстрирует, сколь широкое поле ис­ следований открывает перед нами понятие хаоса, т. е. конструктивной роли необратимости. Мы убеждены, что эти исследования приведут к новому обли­ ку науки, в центре которой будет находиться проблема становления. Но како­ во бы ни бьmо будущее науки, один вывод ясен: без необратимых процессов невозможно описать окружающий нас мир». Мы попытались найти дополни­ тельное подтверждение данному утверждению на пути исследования стаци­ онарно-неравновесного состояния турбулентного хаоса (при использовании стохастико-термодинамических методов), показав теоретически возможность самоорганизации в такого рода открытых системах.

§ 5. 2. Исследование самоорганизации турбулентного хаоса на основе стохастических уравнений Ланжевена В предыдущем параграфе, в рамках стохастической теории необратимых процессов, бьmа сконструирована макроскопическая модель развитой тур­ булентности однородной сжимаемой жидкости с учетом наличия в потоке разнообразных временных (или пространственно-временных) диссипативных структур. К ним, в частности, могут относиться совокупности неупорядочен­ ных вихревых нитей, вихревых колец, вихревых трубок и иных компактных мезомасштабных образований в физическом (и, соответственно, в конфигу­ рационном) пространстве. При учете ключевого для данной модели посту­ лата Пригожина, касающегося направления протекания необратимых про­ цессов в каком-либо локальном объеме пространства внутренних координат, используемый нами подход позволил термадинамически вывести кинетиче­ ское уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) в пространстве сто­ хастических координат, характеризующих турбулентный хаос. Это уравнение предназначено для определения временной эволюции плотности распреде­ ления условной вероятности для каких-либо статистических характеристик мелкомасштабной турбулентности. Кроме этого, оно позволяет исследовать процессы перехода из одного квазистационарного состояния вихревого хаоса в другое, вызванные последовательной потерей устойчивости гидродинамиче­ ской системой при изменении параметра, управляющего режимом турбулент­ ного движения в целом, например, глобального числа Рейнольдса.

В настояшем параграфе, развивающем указанную концепцию, проанали­ зирован альтернативный метод к исследованию подобного рода переходов вблизи критических точек самоорганизующейся подсистемы вихревого хаоса.

Этот метод, базирующийся на стохастических уравнениях ланжевеновского типа и детерминистских уравнениях переноса для условных средних, тесно связан с подходом, опирающимся на уравнения ФПК. Однако, по сравнению с последним, он имеет некоторое преимущества при изучении стохастических § 5.2. Исследование самоорганизации турбулентного хаоса на основе уравнений Ланжевена 319 процессов в окрестности квазистационарных состояний, которое проявляется в возможности использования эффективных математических методов теории устойчивости движения, теории нелинейной динамики хаотических и стоха­ стических систем и т. п. В связи с этим уместно напомнить, что в рамках си­ нергетического подхода к моделированию турбулентного (динамического) ха­ оса произошло сближение таких наук, как гидродинамическая устойчивость, статистическая термодинамика неравновесных процессов, теория бифуркаций нелинейных динамических систем и т. п. Более того, стало ясно, что любая адекватная макротеария развитой турбулентности не может быть построена без явного моделирования когерентных диссипативных структур и описания их какими-то структурными параметрами (Drиden, 1948, ; Crow, Champagne, 1971; Brown, Roshko, 1974), поскольку именно мелкомасштабные простран­ ствеино-временные диссипативные структуры являются, в известном смысле, «строительными блоками такой теории.

В первой главе рассмотрены четыре сценария начального этапа заро­ ждения турбулентности в гидродинамических системах, которые практиче­ ски целиком относятся к анализу неравновесных нестационарных состояний с нелинейными переходными режимами, nериодическими траекториями и ограниченными апериодическими движениями. Три из этих сценариев цели­ ком относятся к начальному этапу зарождения турбулентности, когда число возбужденных макроскопических (коллективных) степеней свободы все еще невелика (Ландау, Лифшиц, 1988; Монин и др., 1989). При анализе модели когерентной турбулентности мы будем придерживаться в основном сценария Ландау-Хопфа, согласно которому непрерывный переход к полностью раз­ витой турбулентности осуществляется через каскад бифуркаций, связанный с последовательным возбуждением все новых и новых степеней свободы.

ВременнУю эволюцию неравновесных динамических систем принято изу­ чать с помощью нелинейных (стохастических) дифференциальных уравне­ ний - обыкновенных или в частных производных - или уравнений эволюции с дискретными временными интервалами (например, логистического уравне­ ния). Решить подобные динамические уравнения в явном виде в общем слу­ чае не представляется возможным. В месте с тем, их численные реализации обладают гораздо более сложным поведением, в сравнении с особенностями поведения отдельных решений стационарных систем. В частности, здесь мо­ гут существовать изолированные замкнутые траектории (являющиеся образа­ ми периодических движений в фазовом nространстве) - так называемые пре­ дельные циклы, к которым стремятся траектории, начинающиеся в области их притяжения, квазипериодические движения на торах с бифуркациями, траек­ тории, являющиеся хаотическими аттракторами, которые непрерывно плотно заполняют компактное фазовое пространство и соответствуют непериодиче­ ским решениям, а также различные переходы между подобными структурами в критических точках со своей локальной бифуркацией, где nроисходит поте­ ря устойчивости, и т. д. Вся эта огромная совокупность численных решений, с разнообразными типами поведения (от детерминированного к стохастиче­ скому), чрезвычайно существенна также и для более глубокого качественного понимания механизмов возникновения турбулентности. Вместе с тем, следует Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности отметить, что теория динамических систем пока еще не оказала, к сожалению, значительного влияния на количественный аспект изучения развитых турбу­ лентных течений при больших числах Рейнольдса.

По этой причине мы не будем касаться здесь всех этих важных проблем, а сосредоточимся преимущественно на макроскопическом описании разви­ той структурированной турбулентности, включая некоторые аспекты теории марковских флуктуаций применительно к стационарно-неравновесным со­ стояниям подсистемы турбулентного хаоса, используя для данной цели стати­ стические методы в неравновесной термодинамике. В предыдущем параграфе остался открытым следующий важный вопрос: являются ли стационарные со­ стояния турбулентного хаоса действительно устойчивыми, подобно термади­ намически равновесным состояниям в классической термодинамике? Для от­ вета на этот ключевой для развиваемого термодинамического подхода вопрос необходимо, прежде всего, иметь принципиальную возможность «пригото­ вить исходный стационарный статистический ансамбль, отвечающий макро­ скопической подсистеме турбулентного хаоса. Ясно, что возможность сфор­ мировать подобный ансамбль появляется, например, при наличии асимпто­ тически устойчивых стационарных состояний, имеющих конечные области притяжения. В случае среды с молекулярными флуктуациями, когда стаци­ онарное состояние является статистически равновесным, асимптотическую устойчивость равновесного состояния обеспечивает существование соответ­ ствующей термодинамической функции Ляпунова. В данном разделе будет показано, что аналогичная связь с термодинамикой существует и для стацио­ нарных состояний континуума с турбулентными флуктуациями. В частности, будет предложен в явном виде неравновесный термодинамический потенци­ ал, обобщающий известное соотношение Больцмана-Планка для функции распределения равновесного состояния на стационарные состояния ансамб­ ля, отвечающего подсистеме турбулентного хаоса, и показано, что он явля­ ется функцией Ляпунова для асимптотически устойчивых стационарных со­ стояний. Качественно разобрано поведение крупномасштабных флуктуаций в окрестности критических точек перехода, приводящее к появлению простей­ ших типов аттракторов - притягивающих периодических движений (предель­ ных циклов). Рассмотрена связь внутренней перемежаемости в инерционном интервале масштабов с флуктуациями энергии диссипации.

5.2. 1. Стохастический подход к изучению эволюции турбулентноrо хаоса.

Гауссовский процесс В п. 5.1 бьи применен стохастико-термодинамический формализм, осно­ ванный на включении в модель турбулентного хаоса, помимо обобщенных «классических термодинамических переменных, некоторого числа внутрен­ них координат qk, отвечающих мелкомасштабным турбулентным пульсациям и описывающих вихревые и температурные структуры. Эти переменные явля­ ются, вообще говоря, случайными функциями, флуктуирующими около сво­ их стационарных (средних) значений qr. Бьио подчеркнуто, что в качестве внутренних координат хаоса могут фигурировать положительные величины, § 5.2. И сследование самоорганизации турбулентного хаоса на основе уравнений Ланжевена 321 являющиеся четными функциями флуктуирующих скоростей, температур или концентраций, или их логарифмы.

Обсудим теперь более детально обоснование ряда постулатов, а также фи­ зических и математических предположений, на которых основан развивае­ мый нами подход к моделированию структурированной турбулентности. Вве­ дем в рассмотрение широко используемый далее гауссавекий стохастический процесс q(t) в пространстве конфигураций, для которого все совместные и условные плотности вероятности имеют гауссовскую форму. Как будет ясно из дальнейшего, можно считать, что стационарные, гауссавекие и марковекие процессы (так называемые процессы Орштейна-Уленбека) представляют со­ бой неплохое приближение при описании асимптотически устойчивого стаци­ онарного состояния модельной макроскопической подсистемы турбулентного хаоса. В этой связи важно иметь в виду, что статистика сильно нелиней­ ных случайных полей скорости и температуры в реальной турбулизованной жидкости не носит, в общем случае, ни гауссовского, ни марковекого харак­ тера, особенно на больших масштабах (см., например, Монин, Яглом, 1996).

Тем не менее нам представляется целесообразным рассмотреть и это имею­ щее ограниченный характер приближение, преимущества которого состоит, в частности, в том, что мы приобретаем возможность, на уровне хорошо раз­ работанной теории случайных функций, исследовать свойств а и поведение тех стационарно-необратимых диссипативных процессов в подсистеме хаоса, которые связаны с флуктуациями, устойчивостью и бифуркационными изме­ нениями отдельных стационарных состояний.

Многомерное обобщение кривой Гаусса G(q)((2л)n det а)-112 exp[ -a- 1 (q - q)(q - q)/2) j (5. 2.1) определяется двумя матричными величинами: средним значением q = = J qG(q)dq и тензорной дисперсией а = j( q - q)(q - q) G(q)dq (здесь а- 1 матрица, обратная к положительно определенной матрице п-го порядка у).

Отметим, что для стационарного гауссавекого процесса только условные сред­ ние f(q(t))0 и соответствующие дисперсии зависят от времени и, именно, с этими величинами связаны детерминистские уравнения переноса для макро­ величин, описывающие линейную релаксацию средних к их стационарным значениям (см. Кайзер, 1990).

Поясним теперь более подробно, почему иногда удобно выбрать в ка­ честве внутренних координат хаоса логарифмы положительных стохастиче­ ских характеристик турбулентности, типа скорости диссипации турбулентной энергии. Пусть c*(r, t) - пекоторая положительная локальная характеристи­ ка турбулентного поля, определяемая турбулентными пульсациями (напри­ мер, скорость диссипации турбулентной энергии c(r, t), или скорость выро­ ждения дисперсии температуры Ет(r, t) и т. п.). Тогда в случае полностью развитой турбулентности, согласно уточненным гипотезам подобия Колмого­ рова (Колмогоров, 1962), диссипация c(r, t) (или родственные ей величины) асимптотически удовлетворяет логарифмически нормальному распределению вероятностей, т. е. случайная переменпая ln с* распределена по гауссавекому Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности

где aln с* 2 и т* - суть дисперсия и среднее (стационарное) значение случай­ ной переменной ln с* ; B(r, t) - слагаемое, зависящее от характеристик круп­ номасштабного движения; р* - универсальная постоянная, имеющая различ­ ные значения для разных переменных с* ; L/17 "" Re314.

Распределение (5.2.2), принятое в уточненной теории Колмогорова ( 1961), может быть оправдано тем обстоятельством, что модель случайного каскада подобна процессу дробления пылевых частиц, которому, как известно, асим­ птотически отвечает логарифмически нормальное распределение по разме­ рам. Помимо этого, имеются многочисленные экспериментальные подтвер­ ждения логнормального распределения вероятностей диссипации турбулент­ ной энергии и связанных с ней положительных мелкомасштабных характе­ ристик турбулентности в широком интервале умеренных значений аргумента.

Основательный обзор соответствующих работ приведен, например, в книге (Монин, Яглом, 1996), к которому мы и отсьшаем заинтересованного чита­ теля. Следует, однако, заметить, что во всех случаях было обнаружено, что на «хвостах, т. е. при очень малых или очень больших значениях аргумента, эмпирическое распределение вероятностей все же отклоняется от логарифми­ чески нормального. С этим фактом связано, в частности, то обстоятельство, что высшие моменты с* уже не могут быть аккуратно вычислены с помощью логнормального распределения. Кроме того, в ряде публикаций правильиость логнормального распределения для подобных величин была подвергнута со­ мнению, поскольку оно неявно предполагает появление сверхзвуковых ско­ ростей при очень больших числах Рейнольдса (см., например, Фриш, 1998).

Второй аргумент в пользу использования переменных q* = ln с* состоит в том, что величина Jn с* флуктуирует гораздо слабее, чем с*, и потому ее сред­ нее значение имеет более значимый физический смысл: сильные флуктуации случайной переменной с*, возникающие, например, в критической точке, ис­ кажают статистику величины ln с* гораздо меньше, чем статистику величины с*. Кроме этого, в случае больших флуктуаций с* экспонента от среднего зна­ чения ln с* дает наиболее вероятное значение самой величины с*.

При подстановке многомерного гауссавекого распределения WГ(q* ) для подобных мелкомасштабных характеристик q* = в выражение ( 5. 1. 1 9**) для силы трения (5.2.4)

Таким образом, фигурирующая в уравнении ФПК (5. 1.39) сила трения» в пространстве внутренних переменных турбулентного хаоса зависит, напри­ мер, от глобального числа Рейнольдса Re, управляющего режимом турбулент­ ного движения в целом, что и определяет, в конечном счете, возможность перестройки вихревой структуры ансамбля гидродинамических систем, ассо­ циированного с турбулентным хаосом, позволяя выявить те критические зна­ чения Recr' при которых происходит, например, его скачкообразный переход из некоторого квазиустойчивого стационарного состояния к новому стабиль­ ному состоянию.

Фундаментальное решение уравнения Фоккера-Планка Мы показали, что функция плотности условной вероятности Р2 = P2(q0 1 q, t) для непрерывного марковекого стационарно-неравновесного стохастического процесса q(r, t), описывающего эволюцию стохастических внутренних пара­ метров турбулентного хаоса (включая, в частности, временную эволюцию сто­ хастических характеристик вихревых структур в случайном каскаде Ричард­ сона-Колмогорова) удовлетворяет кинетическому уравнению ФПК (5. 1.39).

Далее будем использовать уравнение ФПК в форме Ито ( 5. 1.39*), которая особенно легко позволяет проследить связь между детерминистическим и сто­ хастическим описанием процесса перехода. В матричных обозначениях урав­ нение (5. 1.

39*) в пространственно однородном случае может быть переписано в виде (5.2.6) Здесь вектор K(q, uгь ) и тензор второго ранга +c2 Q(q) в правой части опре­ деляют соответственно дрейфовую и диффузионную части потока вероятно­ сти, причем Р2 - положительная функция, обладающая следующими свой­ ствами:

f P2(q0 1 q, t)dq = 1, f W1 (q0)P2(q0 1 q, t)dq0 = W1 (q, t), l-+00 (5.2.7) lim P2(q0 1 q, t) = W (q).

Последнее соотношение означает, что для стационарных процессов услов­ ная плотность асимптотически со временем перестает зависеть от начального условия. Параметр с2 = kв T1urь отражает интенсивность естественного (вну­ треннего) источника флуктуаций переменных q, связанного с собственным нелинейным возмущающим механизмом подсистемы турбулентного хаоса ­ с его «тепловой структурой. Предельному случаю с -+ О отвечает детермини­ рованное поведение вектора состояния q(t), удовлетворяющего детерминист­ скому дифференциальному уравнению дq/дt= K(q, 0). (5.2.8) Глава 5. Стохастико-термодинамическое моделирование развитой турбулентности Уравнение (5.2.6) удобно для изучения стохастических процессов, связанных с начальными условиями вида P2 (q0 1 q, О) = б(q - q0 ), которые соответствуют дельтаобразной плотности вероятности, сосредоточенной в точке q = q0. Дру­ гими словами, предполагается, что в момент t = О из точки q0 конфигурацион­ ного пространства выходит большое число (ансамбль) траекторий, движущих­ ел независимо друг от друга, и при этом ищется плотность их распределения в какой-либо области q-пространства в момент времени t. Сверх этого, на функцию P2 (q0 1 q, t) могут быть наложены те или иные граничные условия по q, которые должны быть специально сформулированы для анализа кон­ кретных задач. Если в начальный момент времени t = О задано не начальное состояние q(O) = q0, а начальное распределение W1 (q0 ), то, умножая (5.2.6) на W1 (q0 ) и интегрируя по q0, получим (используя второе соотношение (5.2. 7)) так называемое прямое уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для одно­ точечной плотности вероятности W1 (q, t), для которого распределение W1 (q) является стационарным решением.

Хорошо известно, что найти аналитическое решение уравнения (5.2.6) в явном виде удается лишь в исключительных случаях, например, когда дрей­ фовая матрица K(q) = L ·/(q) линейна по переменным q :

(5.2.9) K(q) = H · q, а матрица коэффициентов диффузии Q = 2L не зависит от q (аддитивный шум). Именно этот случай, представляющий наибольший интерес для тер­ модинамических ансамблей (см., например, Хакен, 1985), мы и рассмотрим в данном разделе. При этом, стохастический процесс q(t) будет заведомо огра­ ничен, если дополнительно принять (что и предполагается далее), что квад­ ратичная матрица п-го порядка (по числу внутренних координат хаоса) Н яв­ ляется сильно связанной. Напомним, что сильная связанность означает, что матрица Н имеет одно нулевое собственное значение, а действительные части всех остальных собственных значений ).-р(Н) (р = 1. n - 1 ) отрицательны, Re).-p

Удовлетворяющее начальному условию P2 (q0 1 q, О) = б(q - q0 ) фундамен­ тальное решение кинетического уравнения (5.2.6), переписанного с учетом сделанных выше предположений в виде

- матричная дисперсия условной флуктуации bq = q(t) -7f(q0, t), удовлетво­ ряющая дифференциальному уравнению дa(t)jдt =Н. a(t) + a(t). _нtransp + kв urbQ (5.2. 1 4) с начальным условием а(О) = О (см., например, де Г рот, Мазур, 1964).

Покажем теперь, что асимптотически устойчивому стационарному состо­ янию q51 состоянию-аттрактору, для которого lim rf(q ' t) = qst (5.2. 1 5) о 1-00 в случае если представленные физическим ансамблем начальные значения q(O) = q0 вектора сосредоточены в области его притяжения, отвечает стаци­ онарный гауссавекий марковекий процесс. Действительно, если воспользо­ ваться третьим соотношением (5.2.7), устанавливающим асимптотическое ра­ Р2 W1, t--+ венство и то выражение (5.2. 1 1 ) при оо переходит в гауссавекое распределение для одновременной функции распределения lim P2 (qo 1 q, t) = w1 (q) = ((2л)п det a(q51))- 1 /2 ехр[ -a- l (q51) : (q-q51)(q-qst )/2], l-00

F(q, t), условное среднее которого рав­ случайным (ланжевеновским) членом но нулю:

=------0 дq/дt= H · q+F(q, t), F(q, t) = 0. (5.2.2 1 ) Стохастическое дифференциальное уравнение (5.2.21) является уравнением Ланжевена, отвечающим уравнению ФПК вида (5.2. 10). Отметим, что условие =------0 F(q, t) = О лишь частично задает свойства так назьmаемой случайной силы (источника) Ланжевена F(q, t), действующей в пространстве конфигураций q. Одна­ ко, статистические свойства стохастического процесса F(q, t) будут полностью определены, если задать вид корреляционного тензора F(q1, t1 )Jltransp (q, t).

Обычно, при решении практических задач, дополнительно предполагают, что случайная величина F(q, t) есть стационарный Ь-коррелированный во време­ ни гауссавекий процесс (многомерный белый шум) (5.2.22) причем матрица интенсивностей случайной силы Q совпадает с тензором ко­ эффициентов диффузии Q = 2L в кинетическом уравнении ФПК (5.2. 1 0).

Как известно, с учетом ключевого предположения (5.2.22) оба подхода ­ основанный на уравнении ФПК (5.2. 1 0) и основанный на системе обык­ новенных дифференциальных стохастических уравнений первого порядка q(t) -оказываются (5.2.2 1 ) для случайной функции полностью равнознач­ Тихонов, Миронов, 1977). Важно при этом иметь в ными (см., например, виду, что процесс Орштейна- Уленбека определяется именно линейным сто­ хастическим дифференциальным уравнением с белым шумом в качестве случайного источника. В частности, решая уравнения (5.2.2 1 ) и (5.2.22) мож­ но получить соотношения (5.2. 1 1) для условной плотности вероятности и (5.2. 1 4) для дисперсии условной флуктуации, а также соответствующие асим­ птотические (при ! ---' оо) выражения (5.2. 1 6) и (5.2. 1 7)). Для наших целей это означает, что анализ эволюционных процессов в подсистеме турбулентного хаоса (к ним относятся, например, релаксационные процессы в окрестности отдельных устойчивых стационарных состояний - простейших простран­ ствеино-временных структур) можно проводить и на основе подобного рода стохастических уравнений или их следствий, с привлечением мощных мето­ дов качественной теории дифференциальных уравнений и линейного анализа устойчивости. Одновременно заметим, что доказательство эквивалентности уравнения ФПК общего вида (5.2.6) и соответствующего ему нелинейнаго уравнения Ланжевена

«CHAMPION LITHIUM GREASE EPA Паспорт безопасности в соответствии с Регламентом (ЕС) № 1907/2006 (REACH) и внесенной в Регламент (EC) поправкой № 453/2010 Дата выпуска:22/04/2004 Дата пересмотра:11/12/2015 Отменяет:19/03/2015 Версия: 3.1 РАЗДЕЛ 1: Идентиф. »

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Параллельные численные методы Лабораторная работа Поиск путей на графе При поддержке компании Intel Козинов Е.А., Сиднев А.А. Кафедра математического обеспечения ЭВМ Содерж. »

«Жюль Анри Пуанкаре (1854 — 1912) французский математик, физик, астроном и философ “Если бы природа не была столь прекрасной, она не стоила бы того, чтобы быть познанной, а жизнь не стоила бы того, чтобы быть прожитой”. Прикладной дифракционный анализ в материаловедении Проф., дфмн Суворов Э.В. ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ. »

«Электрои нанотехнологии УДК 621.0.047.4 ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОДОВ-ИНСТРУМЕНТОВ ДЛЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ НА СВЕРХМАЛЫХ ЗАЗОРАХ И МЕТОДИКА ИХ ИЗГОТОВЛЕНИЯ С.Н. Веневцева В работе проведены результаты проектирования электродов-инструментов для электрохимической обработки в мегагерцовом диапаз. »

«УДК 556.048,556.167,556.5.01 ФИЛИППОВА Ирина Александровна Минимальный сток рек Европейской части России и его оценка в условиях изменения климата Специальность 25.00.27 Гидрология суши, водные ресурсы, гидрохимия Автореферат диссертации на соискание уч. »

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра органической химии Г.Ф. Названова ОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ Методические ук. »

«Химия и Химики № 7 (2009) Законы Паркинсона Сирил Норткот Паркинсон (фрагменты книги) ЗАКОН ПАРКИНСОНА, или Растущая пирамида Работа заполняет время, отпущенное на нее. Это всем известно, что явствует из пословицы: "Чем больше времени, тем больше дел". Так, ничем не занятая старая дама может целый день писать и. »

«Двойной логарифм числа ПИ (ln(pi)) и квадрат числа Непера е^2. Есть ли между ними связь? Радевич В. С. Радевич Валерий Степанович / Radevich Valerij Stepanovich – пенсионер, любитель цифр. »

«ХИМИЯ РАСТИТЕЛЬНОГО СЫРЬЯ. 2009. №3. С. 103–108. УДК 634.424.8:547.978.4 ФЛАВОНОИДНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ ПЛОДОВ ФЕЙХОА М.Р. Ванидзе1*, А.Г. Каландия1, А.Г. Шалашвили2 © Государственный университет им. Шота Руставели, ул. Ниношвили, 35, Батуми, 6010 (Грузия) E-mail: a. »

«НАЗЕМНЫЙ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ МОНИТОРИНГА АТМОСФЕРНОЙ РАДИАЦИИ В КИШИНЕВЕ, МОЛДОВА А. Акулинин 1), А. Смирнов 2), В. Смыков 1), T. Эк2), А. Поликарпов 1) 1) Исследовательская. »

«Олимпиада по неорганической химии “ИНХ – 2010” Задача 1. Безводные нитраты. (15 баллов) Пробу смеси, содержащей безводные нитраты бария, свинца и кальция, массой 1,108 г растворили в воде и полученный раствор в присутствии уксусной кислоты обработа. »

«Гарант дисциплины: Хисаметдинов Ф.З., старший преподаватель кафедры прикладной математики и информационных технологий Сибайского института (филиала) ФГБОУ ВО "Башкирский государственный университет"Рабочую программу дисциплины осуществляют: лекции: старший преподаватель Хисаметдинов Ф.З. лабораторные занятия. »

«WOLF VITALTECH 15W40 Паспорт безопасности в соответствии с Регламентом (ЕС) № 1907/2006 (REACH) и внесенной в Регламент (EC) поправкой № 453/2010 Дата выпуска:5/10/2009 Дата пересмотра:25/08/2016 Отменяет:11/12/2015 Версия: 9.0 РАЗДЕЛ 1. »

«УДК 622.323(470) СКОЛЬКО НЕФТИ НАДО ДОБЫВАТЬ РОССИИ? (открытое письмо Президенту России В.В.Путину) К.С.Иванов Институт геологии и геохимии УрО РАН, г. Екатеринбург, ivanovks55@ya.ru АННОТАЦИЯ России совершенно необходимо уменьш. »

«Александр Вильшанский Физическая физика Часть 2 Преоника Первая редакция – 2015 Вторая редакция 2016 Израиль 2016 Alexander Vilshansky Physical Physics Chapter 2 Preonics (in Russian) Copyright © 2015 by Alexander Vilshansky All right reserved. No portion of this book may be reproduced or transm. »

«СОЛОМОН ИСААКОВИЧ ПЕКАР (1917—1985) 19S6 г. Май Том 149, вып. 1 УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ АУ К PERSONALIA 53(092) ПАМЯТИ СОЛОМОНА ИСААКОВИЧА ПЕКАРА 8 июля 1985 г. после тяжелой непродолжительной болезни скончался академик АН УССР Соломон Ис. »

«Геофизические методы исследования земной коры УДК 550.834.015.2 ПОПЕРЕЧНЫЕ И ОБМЕННЫЕ ВОЛНЫ В МОРСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ГСЗ (РЕЗУЛЬТАТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ) Т.М. Яварова1, С.Н. Кашубин2, А.В. Рыбалка2, Т.С. Сакулина1 ОАО "Севморгео", Санкт-Петербург Всероссийский научн. »

«Секция 2 МИНЕРАЛОГИЯ, ГЕОХИМИЯ И ПЕТРОГРАФИЯ МАНТИЙНЫЕ ПАРАГЕНЕЗИСЫ ГРАНАТОВ ИЗ КИМБЕРЛИТОВОЙ ТРУБКИ "АЙХАЛ" (ЗАПАДНАЯ ЯКУТИЯ) Т.А. Антонова Научный руководитель профессор А.Я. Ротман Якутское научно-исследовательское геологоразведочное предприятие ЦНИГРИ АК "АЛРОСА", г. Мирный, Россия Кимберлитовая трубка "Айхал" находится в Алакит-Мархинск. »

«Лекция 1 (15.02.2007г.) СООТНОШЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ И СЛУЧАЙНОСТИ В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАКОНАХ. Стремление понять, как устроен окружающий мир, является одним из главных мотивов активной деятельности homo sapiens (человека раз. »

«ФИЛОСОФСКИЕ НАУКИ ОНТОЛОГИЯ И ТЕОРИЯ ПОЗНАНИЯ Шагин, А. А., e-mail: Shagin55@yandex.ru Shagin, A. A., ИНФОРМАЦИОННАЯ ФОРМА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИИ Аннотация. В статье представлены результаты философского исследования достижений химической науки – супрамолекулярной химии. Выдвинута гипотеза о том, что супрамолекулярная химия является нов. »

«системы "паразит-хозяин" из гомеорезистого состояния в гомеоклазисное и позволяют оценить эффективность воздействия антигельминтиков при трематодозах. Литература: 1. Бибик О. И. // Автореф. дис. докт. биол. н. »

«ШОШИН Андрей Алексеевич ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МОЩНОГО ПОТОКА ЭЛЕКТРОННО-ГОРЯЧЕЙ ПЛАЗМЫ С МИШЕНЯМИ НА МНОГОПРОБОЧНОЙ ЛОВУШКЕ ГОЛ-3 01.04.08 – физика плазмы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических. »

«Жаднов В.В., Лазарев Д.В. ПАРАМЕТРЫ МАКРОМОДЕЛЕЙ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ И ИХ ИДЕНТИФИКАЦИЯ В данной работе предложены одна из возможных математических моделей эксплуатационной интенсивности от. »

«95 М.В. Михайловер. – Обзоры современной проблемы химии и химической промышленности // – М.: НИИТЭХИМ, 1980. – Вып.11. – 48 с.7. Шапошников В.В. Технология охлаждающей воды и проблемы ее оптимального технологического и общехозяйственного использования / В.В. Шапошников. –// Химическая технология. – 1979. – № 4. – С. 3 – 9.8. Крюк. »

«CHAMPION MULTIGRADE PD-1 SF/CD SAE 15W40 Паспорт безопасности в соответствии с Регламентом (ЕС) № 1907/2006 (REACH) и внесенной в Регламент (EC) поправкой № 453/2010 Дата выпуска. »

«Российская академия наук ОРГКОМИТЕТ Министерство образования и науки РФ Федеральное агентство научных организаций Председатель акад. РАН А.А. Берлин Отделение химии и наук о материалах РАН Сопредседатели акад. РАН И.А. Новаков Научный совет по высокомолекулярным соед. »

«ЭНЕРГЕТИКА, ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩИЕ ТЕХНОЛОГИИ И ОБОРУДОВАНИЕ УДК 662.951.2 КЛИМАШ А. А., инженер, Институт химических технологий Восточноукраинского национального университета им. В. Даля, Рубежное; СОЛОВЬЁВ Г. И., канд. техн. наук, доц., Технол. »

«Д.А. Заярный, Б.С. Ишханов, А.Н. Каманин, Н.И. Пахомов, В.И. Шведунов СО2 ЛАЗЕР ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИФРАКЦИОННОЙ УСКОРЯЮЩЕЙ СТРУКТУРЫ Препринт НИИЯФ МГУ – 2006 – 16/815 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Д.В.СКОБЕЛЬЦЫНА . »

«ЗАКЛЮЧЕНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОГО СОВЕТА Д 002.063.03 НА БАЗЕ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ НАУКИ ИНСТИТУТ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ ИМ. А.М. ПРОХОРОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ПО ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА НАУК атт. »

Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Источник:

net.knigi-x.ru

А. В. Колесниченко Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред в городе Киров

В представленном интернет каталоге вы всегда сможете найти А. В. Колесниченко Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред по разумной стоимости, сравнить цены, а также изучить похожие предложения в группе товаров Детская литература. Ознакомиться с свойствами, ценами и обзорами товара. Доставка может производится в любой населённый пункт РФ, например: Киров, Уфа, Кемерово.