Каталог книг

Методы оптимальных решений. Учебное пособие

Перейти в магазин

Сравнить цены

Описание

Рекомендовано УМО вузов России по образованию в области финансов, учета и мировой экономики в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки "Экономика". Предлагаемое учебное пособие представляет собой изложение основных понятий и методов оптимальных решений в экономике. Математический аппарат анализируется преимущественно с экономико-прикладных позиций и широко иллюстрируется примерами. Это дает возможность обучаемым (читателям) в процессе изучения курса приобщиться к математическому моделированию различных прикладных задач, ситуаций, процессов. Отличительной особенностью учебного пособия является изложение общих теоретических положений по всем темам курса "Методы оптимальных решений" в алгоритмической форме, наличие большого количества прикладных задач и тестовых заданий, которые позволяют эффективно использовать пособие в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных работ и тестировании студентов. Материал, изложенный в наглядной и доступной форме, позволяет быстро освоить дисциплину. Пособие может быть рекомендовано студентам экономических направлений подготовки, обучающихся по программам бакалавриата и магистратуры, аспирантам и преподавателям вузов и средних специальных учебных заведений.

Сравнить Цены

Предложения интернет-магазинов
Макаров С. (ред.) Методы оптимальных решений (экономико-математические методы и модели). Учебное пособие ISBN: 9785406064283 Макаров С. (ред.) Методы оптимальных решений (экономико-математические методы и модели). Учебное пособие ISBN: 9785406064283 857 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Камиль Джафаров Методы оптимальных решений ISBN: 978-5-7782-2526-8 Камиль Джафаров Методы оптимальных решений ISBN: 978-5-7782-2526-8 115 р. litres.ru В магазин >>
Колемаев В., Соловьев В. (ред.) Методы оптимальных решений. Практикум. Учебное пособие ISBN: 9785406049181 Колемаев В., Соловьев В. (ред.) Методы оптимальных решений. Практикум. Учебное пособие ISBN: 9785406049181 667 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Шелехова Л. Методы оптимальных решений. Учебное пособие ISBN: 9785811421657 Шелехова Л. Методы оптимальных решений. Учебное пособие ISBN: 9785811421657 1177 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Гончаренко В., Попов В., ред. Методы оптимальных решений в экономике и финансах. Учебное пособие ISBN: 9785406049174 Гончаренко В., Попов В., ред. Методы оптимальных решений в экономике и финансах. Учебное пособие ISBN: 9785406049174 395 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Гончаренко В., Попов В. (ред.) Методы оптимальных решений в экономике и финансах. Практикум. Учебное пособие ISBN: 9785406045459 Гончаренко В., Попов В. (ред.) Методы оптимальных решений в экономике и финансах. Практикум. Учебное пособие ISBN: 9785406045459 803 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Гончаренко В., Попова В. (ред.) Методы оптимальных решений в экономике и финансах. Учебное пособие ISBN: 9785406027479 Гончаренко В., Попова В. (ред.) Методы оптимальных решений в экономике и финансах. Учебное пособие ISBN: 9785406027479 857 р. chitai-gorod.ru В магазин >>

Статьи, обзоры книги, новости

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ (УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ) - Международный журнал экспериментального образования

Методы оптимальных решений. Учебное пособие

Информация о статье МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ (УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ)

Учебное пособие «Методы оптимальных решений» подготовлено в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и программой курса «Методы оптимальных решений» для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 080100.62 – «Экономика».

Дисциплина «Методы оптимальных решений» является важной составляющей системы фундаментальной подготовки современного экономиста, обеспечивающей ему профессиональную мобильность и конкурентоспособность.

Цель пособия – повышение уровня математической подготовки студентов, усвоение знаний и формирование навыков в области использования оптимизационных моделей для принятия экономически целесообразных решений в различных ситуациях.

Пособие состоит из 4 разделов, охватывающих методы линейного, динамического и выпуклого программирования, элементы теории графов и матричных игр.

В разделе «Линейное программирование» даются примеры экономических задач, которые в процессе экономико-математического моделирования сводятся к задачам линейного программирования. Излагается геометрический метод решения задач линейного программирования с двумя переменными. Уделено внимание изложению алгоритмов симплексного метода решения задач линейного программирования, включая метод искусственного базиса и двойственный симплекс-метод. Рассматриваются вопросы применения теории двойственности линейного программирования для анализа оптимальных решений, дробно-линейного программирования, целочисленного программирования и специальные задачи линейного программирования на примере открытых и закрытых транспортных задач.

Раздел «Нелинейное программирование» посвящен нахождению безусловного и условного экстремума.

В разделе «Матричные игры» приводятся основные понятия теории матричных игр, особое внимание уделяется парным играм. Рассматриваются методы решения матричных игр: графический метод и сведение матричной игры к задаче линейного программирования.

В разделе «Основы сетевого планирования и управления» рассматриваются сетевые графики комплекса операций и правила их построения. Особое внимание уделяется расчету временных параметров сетевого графика. Приводится диаграмма Ганта.

В результате изучения данного пособия студент должен знать типы экономических задач, решаемых с помощью методов оптимальных решений; основные математические методы поиска оптимальных решений; уметь перейти от прикладной экономической задачи к математической модели, находить оптимальное решение поставленной задачи; владеть методами построения математических моделей типовых профессиональных задач. Материал книги направлен на формирование у студентов комплекса профессиональных компетенций, соответствующих направлению подготовки «Экономика»:

– способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);

– способен выбирать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5);

– способен на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты (ПК-6).

Каждый раздел пособия содержит основные положения теории, формулы, определения, теоремы, необходимые для решения задач. Поскольку выпускники вузов по экономическим специальностям в будущей профессиональной деятельности будут встречаться с математическими методами оптимизации, главным образом, как пользователи, а не разработчики, в данном пособии основное внимание уделяется приложениям математических методов в экономике, а не их подробному теоретическому обоснованию. В книге приводятся подробные решения типовых задач различной степени трудности, поясняющих теоретический материал; большое (достаточное) количество содержательных примеров, иллюстрирующих приемы математического моделирования экономических ситуаций с последующим анализом полученных результатов; вопросы для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения, позволяющие закрепить приобретенные на практических занятиях навыки решения задач и оценить степень подготовленности по данной теме.

В конце пособия приведены список литературы, рекомендуемой для изучения соответствующих разделов курса высшей математики и тестовое задание по данному курсу.

Материалы пособия имеют прикладную направленность и найдут конкретное применение в общепрофессиональных и специальных дисциплинах, посвященных микро- и макроэкономике, государственному управлению и экономике общественного сектора, фондовому рынку и финансовому менеджменту, институциональной экономике и ряду других научных областей.

Библиографическая ссылка

URL: http://expeducation.ru/ru/article/view?id=7557 (дата обращения: 02.01.2018).

кандидатов и докторов наук

на статьи, авторефераты, диссертации, монографии, учебники, учебные пособия

Международный журнал экспериментального образования

Журнал издается с 2007 года. В журнале публикуются научные обзоры, статьи проблемного и научно-практического характера. Журнал представлен в Научной электронной библиотеке. Журнал зарегистрирован в Centre International de l'ISSN. Номерам журналов и публикациям присваивается DOI (Digital object identifier).

Источник:

expeducation.ru

Методы оптимальных решений учебное пособие

/ Семестровая 1 (Методы оптимальных решений) / Методы оптимальных решений учебное пособие

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» Кафедра прикладной математики

ЕТОДЫ

Ре ком е н д о в а н о

Ученым советом факультета математических методов и анализа рисков в качестве учебного пособия

для подготовки бакалавров экономики и менеджмента

УДК 519.2 (075.8) ББК 22.1я73

канд. техн. наук, проф. В. Н. Калинина (Государственный университет управления)

канд. физ.-мат. наук, доц. В. М. Гончаренко (Финансовый университет)

С60 Соловьев В. И. Методы оптимальных решений: Учебное пособие. М.: Финансовый университет, 2012. 364 с.

Рассматривается теория и практика применения методов линейного, нелинейного и динамического программирования, многокритериальной оптимизации, оптимального управления, теории графов и теории игр в качестве инструмента поддержки принятия решений в экономике. Применение методов иллюстрируется конкретными примерами обоснования решений по планированию производства, управлению запасами и цепями поставок, изучению потребительского спроса, рыночного равновесия, конкуренции, управлению экономикой на макроуровне. В частности, в качестве приложений методов оптимального управления и теории игр излагаются собственные результаты автора по экономике рынка информационных технологий.

Пособие предназначено для подготовки бакалавров по направлениям «Экономика» и «Менеджмент». Может быть полезно студентам, обучающимся по направлению подготовки бакалавров «Прикладная математика и информатика», магистрантам, аспирантам, преподавателям и научным работникам.

УДК 519.2 (075.8) ББК 22.1я73

В. И. Соловьев, 2012

Оптимальные решения в задачах планирования производства.

Модель поведения производителя.

Модель управления запасами.

Контрольные вопросы и задания .

Элементы линейной алгебры и балансовые модели экономики.

Векторы и матрицы.

Системы линейных алгебраических уравнений.

Неотрицательные решения систем линейных алгебраических уравнений .

Обращенный базис системы линейных алгебраических уравнений.

Модель межотраслевого баланса.

Контрольные вопросы и задания .

Методы линейного программирования .

Постановка задачи линейного программирования .

Симплексный метод решения задач линейного программирования.

Метод искусственного базиса.

Теория двойственности в линейном программировании.

Двойственный симплексный метод.

Задачи целочисленного программирования .

Решение задач линейного программирования в пакете Microsoft Excel .

Контрольные вопросы и задания .

Оптимальные решения в линейных задачах

управления производством и цепями поставок.

Линейная задача планирования производства .

Задача о расшивке узких мест производства.

Контрольные вопросы и задания .

Методы нелинейного программирования .

Постановка задачи выпуклого программирования.

Условия Каруша — Куна — Таккера.

Метод возможных направлений .

Метод условного градиента .

Метод штрафных функций.

Решение задач нелинейного программирования в пакете Microsoft Excel.

Контрольные вопросы и задания .

в задачах изучения потребительского спроса .

Бюджетное множество и функции полезности .

Предпочтения потребителя и функция полезности.

Модель поведения потребителя.

Модель рыночного равновесия.

Контрольные вопросы и задания .

Задачи динамического программирования в экономике.

Постановка задачи динамического программирования .

Задача оптимального распределения инвестиций .

Многошаговая задача управления производством и запасами.

Дискретные модели ценообразования опционов.

Контрольные вопросы и задания .

Теория графов и ее экономические приложения.

Задачи о кратчайшем и критическом пути .

Контрольные вопросы и задания .

Задачи многокритериальной оптимизации в экономике .

Постановка задачи многокритериальной оптимизации .

Оптимальность по Парето.

Метод идеальной точки .

Метод последовательных уступок.

Контрольные вопросы и задания .

ГЛАВА 10.Теория игр и ее экономические приложения.

§ 10.1. Матричные игры.

§ 10.2. Принятие решений в условиях неопределенности .

§ 10.3. Биматричные игры .

§ 10.4. Непрерывные игры.

§ 10.5. Позиционные игры.

Контрольные вопросы и задания .

ГЛАВА 11.Моделирование поведения фирм на конкурентных рынках .

§ 11.1. Модель поведения двух производителей на рынке одного товара .

§ 11.2. Стратегии поведения дуополистов.

§ 11.3. Модели несовершенной и совершенной конкуренции.

§ 11.4. Модели конкуренции на рынке информационных технологий.

Контрольные вопросы и задания .

ГЛАВА 12.Теория оптимального управления

и ее экономические приложения .

§ 12.1. Постановка задачи оптимального управления.

§ 12.2. Принцип максимума Понтрягина.

§ 12.3. Моделирование оптимального экономического роста.

§ 12.4. Моделирование динамики взаимодействия разработчиков

коммерческого и некоммерческого программного обеспечения .

Контрольные вопросы и задания .

Учебное пособие подготовлено в соответствии с действующими Федеральными государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования по направлениям подготовки бакалавров «Экономика» (дисциплина «Методы оптимальных решений») и «Менеджмент» (дисциплина «Методы принятия управленческих решений»). Также во внимание принимался Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки бакалавров «Прикладная математика и информатика».

Цель пособия — дать студентам знания и навыки применения математических методов оптимизации и исследования операций в качестве инструмента поддержки принятия экономических решений.

Пособие состоит из двенадцати глав, охватывающих классические методы оптимизации, методы линейной алгебры, линейного, нелинейного и динамического программирования, оптимального управления, многокритериальной оптимизации, теории графов и теории игр.

Обсуждение каждой темы начинается с доступного изложения основных идей соответствующего метода, которое подкрепляется достаточно строгим математическим обоснованием и большим числом иллюстраций применения в конкретных задачах принятия решений.

Экономические приложения математических методов выходят в данной книге на первый план, серьезный акцент делается не только на методы решения задач, но и на построение математических моделей, анализ и экономическую интерпретацию полученных результатов.

Пособие знакомит студента с основными проблемами экономики и управления, при решении которых полезно применение математических методов и моделей: приводятся примеры обоснования решений по планированию производства, управлению запасами и цепями поставок, изучению потребительского спроса, рыночного равновесия и конкуренции, управлению экономикой на макроуровне.

Освоение пособия помогает студенту научиться ориентироваться в математических методах, чтобы уметь самому сформулировать задачу, перейти от ее экономической постановки к математической модели, провести анализ модели, доведя их до конкретных количественных результатов и

содержательной интерпретации. Естественно, в пособии обсуждаются и границы применимости математических методов в экономической науке и практике, математические методы рассматриваются не как единственное средство принятия экономических и управленческих решений, а как инструмент поддержки принятия таких решений.

Книга основана на многолетнем опыте автора в преподавании математических методов оптимизации и исследования операций будущим экономистам, менеджерам, а также специалистам по прикладной математике, информатике и применению математических методов в экономике. Она имеет ряд особенностей, отличающих ее от похожих книг, изданных в последнее время.

Во-первых, пособие является в определенном смысле самодостаточным: для его освоения студенту необходимо владеть (помимо арифметики, элементарной алгебры и основ экономики) лишь классическим дифференциальным исчислением, весь остальной необходимый математический аппарат вводится в нужном объеме по мере необходимости. В частности, это относится к методам линейной алгебры: серьезное внимание уделено методу Жордана — Гаусса и его вычислительной реализации.

Во-вторых, систематизирована система обозначений. Так, все оптимизационные задачи формулируются в виде задач на максимум, а если в задаче присутствуют ограничения — неравенства, то они имеют вид « »; оптимальные решения всех задач обозначаются верхним индексом « * »; двойственные оценки в линейном программировании, множители Лагранжа в нелинейном программировании, сопряженные переменные в оптимальном управлении обозначаются одной и той же буквой y , чтобы подчеркнуть их общую природу. Точно так же управления в задачах динамического программирования и оптимального управления обозначаются одной и той же буквой u .

В-третьих, все рассматриваемые методы иллюстрируются доведенными до числовых результатов и содержательной интерпретации практическими примерами из экономики и управления, при этом задачи решаются не только с помощью ручных вычислений, но и с применением средств пакета Microsoft Excel .

В-четвертых, достаточно подробно по сравнению с другими пособиями излагаются и иллюстрируются практическими примерами методы нелинейного программирования и многокритериальной оптимизации. Изложение теории игр также не ограничивается матричными играми: обсуждаются неантагонистические некооперативные и кооперативные игры, в том числе многошаговые и непрерывные.

В-пятых, доступным языком изложено применение динамического программирования к оценке американских опционов — ни в одном из известных автору пособий на русском языке такого изложения нет.

В-шестых, в данном пособии динамическое программирование рассматривается только в применении к дискретным процессам, а в качестве ме-

тода решения непрерывных задач оптимального управления излагается принцип максимума Понтрягина (с доказательством и примерами применения).

Наконец, в-седьмых, автор адаптирует для студентов результаты собственных исследований по экономике рынка информационных технологий и излагает их в качестве примеров приложений теории игр и оптимального управления.

Для удобства читателей в каждой главе теоремы, другие важные утверждения и примеры имеют выделенное шрифтовое оформление, конец доказательства или решения обозначается знаком « ». Теоремы в книге не нумеруются, а рисунки, таблицы и формулы имеют трехступенчатую нумерацию: номер главы, номер параграфа, номер рисунка, таблицы или формулы. В конце каждой главы приводятся контрольные вопросы для самопроверки и задачи для решения на практических занятиях и самостоятельной работы.

Книга достаточно насыщена материалом, и преподаватель может по своему усмотрению выбирать необходимое для изучения подмножество. Это же обстоятельство позволяет использовать пособие в качестве математической поддержки дисциплин по выбору для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Экономика», «Менеджмент», «Прикладная математика и информатика», «Прикладная информатика», «Бизнес-информа- тика» и др. Кроме того, автор надеется, что часть материала, связанная с моделированием конкуренции на рынках интеллектуальных товаров, будет полезна при написании выпускных квалификационных работ, в том числе магистерских и кандидатских диссертаций.

Автор будет благодарен читателям за отзывы, советы и предложения по поводу данной книги, которые просит направлять по электронному

Человеческая деятельность связана с принятием множества решений по способам достижения поставленных целей. При принятии решений приходится учитывать много факторов, отметим среди таких факторов, в первую очередь, ограниченность ресурсов, неопределенность внешних условий, присутствие конкурирующих сторон, которые стремятся достичь своих целей, не всегда совпадающих с нашими.

Как известно, экономика занимается изучением того, как в обществе распределяются о г р а н и ч е н н ы е р е с у р с ы. Как правило, у экономической системы (семьи, фирмы, государства) есть некоторая ц е л ь, но на пути к достижению этой цели стоят о г р а н и ч е н и я по количеству используемых ресурсов. Рассмотрим пример задачи планирования

П РИМЕР В.1. Предприятие производит продукцию двух видов (A и Б), используя при изготовлении этой продукции ресурсы трех видов (первого, второго и третьего). Чтобы произвести одну единицу продукции A, нужно затратить по 1 единице первого и второго ресурсов и 2 единицы третьего ресурса. Для производства единицы продукции Б требуется 2 единицы первого ресурса и 1 единица второго ресурса. Запасы ресурсов у предприятия ограничены: на складах есть 90 единиц первого ресурса, 50 единиц второго и 80 единиц третьего ресурса.

Рыночная цена продукции A составляет 800 руб. а цена продукции Б равна 1000 руб. Сколько продукции следует произвести, чтобы получить наибольшую выручку?

Решение. Пусть предприятие планирует произвести x 1 единиц продукции A и x 2 единиц продукции Б, тогда выручка предприятия будет, очевидно, равна

z = 800 x 1 +1000 x 2 .

Относительно величин x 1 и x 2 можно сказать следующее. Вопервых, они должны быть неотрицательными — отрицательный план производства продукции не имеет экономического смысла. Во вторых, общие расходы ресурсов при производстве x 1 единиц продукции A и x 2 единиц продукции Б не должны превысить запасы этих ресурсов.

Вычислим суммарный расход первого ресурса. На производство единицы продукции A тратится 1 единица первого ресурса, а всего про-

дукции A производится x 1 единиц, значит, на производство всей продукции A будет затрачено 1 x 1 = x 1 единиц первого ресурса. Аналогично, на производство единицы продукции Б тратится 3 единицы первого ресурса, а всего продукции Б производится x 2 единиц, значит, на производство всей продукции Б будет затрачено 3 x 2 единиц первого ресурса. Суммарный расход первого ресурса на производство всей продукции (и A, и Б) соста-

вит x 1 + 3 x 2 единиц. А в запасе есть всего 90 единиц этого ресурса. Значит, должно выполняться ограничение: x 1 + 3 x 2 90 . Добавляя аналогичные ограничения по второму и третьему ресурсам, приходим окончательно к следующей задаче.

Требуется найти такой п л а н

п р о и з в о д с т в а ( т. е. числа x 1

и x 2 ) , чтобы выполнение

плана обеспечивало предприятию

наибольшую в ы р у ч к у

z = 800 x 1 + 1000 x 2 ® max

при о г р а н и ч е н и я х п о

р е с у р с а м

и о г р а н и ч е н и я х н е о т р и ц а т е л ь н о с т и

Построим область точек на плоскости, где все пять ограничений

выполняются. Уравнение x 1 + 3 x 2 = 90

определяет множество точек плос-

кости, лежащих на некоторой прямой. Чтобы эту прямую построить, достаточно вспомнить, что любая прямая полностью определяется любыми своими двумя различными точками. Подставим в данное уравнение x 1 = 0,

что 0 + 3 x 2 = 90 , откуда x 2 = 30. Итак, получили первую точку:

x 2 = 30). Если подставить в данное уравнение x 2 = 0, то получим:

x 1 + 3 ? 0 = 90 или просто x 1 = 90. Получили вторую точку B ( x 1 = 90,

Построим эту прямую: на рис. В.1, а она обозначена римской цифрой I.

Данная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости, в одной

из полуплоскостей выполняется неравенство x 1 + 3 x 2 < 90 , а в другой —

венство x 1 + 3 x 2 > 90 . Проверим, какое из этих двух неравенств выполняется в

полуплоскости, которая лежит ниже и левее только что построенной прямой. Подставим в неравенство x 1 + 3 x 2 < 90 координаты точки O ( x 1 = 0, x 2 = 0):

0 + 3 ? 0 < 90 — значит, и для всех остальных точек, которые лежат ниже и левее прямой x 1 + 3 x 2 = 90 , выполняется неравенство x 1 + 3 x 2 < 90 .

Таким образом, ограничение x 1 + 3 x 2 90 выполняется во всех точ-

ках, лежащих на построенной прямой, а также левее и ниже нее. Обозначим на рис. В.1, а стрелкой ту полуплоскость, где выполняется данное неравенство.

Поступим таким же образом с остальными неравенствами: отметим на плоскости множества точек, которые этим неравенствам удовлетворяют

Пересечение этих множеств (полуплоскостей) образует пятиугольник OABCD , заштрихованный на рис. В.1, б .

Таким образом, любой план производства, соответствующий некоторой точке из заштрихованного пятиугольника, можно выполнить, такие планы называются допустимыми и мы замечаем, что, вообще говоря, их очень много. Как из них выбрать оптимальный, т. е. приносящий наибольшую выручку z = 800 x 1 + 1000 x 2 ?

Оказывается, что если оптимальный план существует, то он обязательно будет лежать в одной из угловых точек множества допустимых планов, т. е. в одной из вершин OABCD . Координаты точки A мы знаем. Найдем координаты других вершин, например, точки С .

Эта точка представляет собой пересечение прямых, которые задаются вторым из неравенств и третьим, т. е. в этой точке

Из уравнения 2 x 1 = 80 получаем x 1 = 40. Подставим x 1 = 40 в урав-

x 1 + x 2 = 50 и получим, что x 2 = 10. Таким образом точка С имеет

С ( x 1 = 40, x 2 = 10). Аналогично получаем координаты всех

оставшихся вершин пятиугольника OABCD .

Итак, оптимальное решение обязательно находится в одной из угловых

= 0, x 2 = 0), в этой точке выручка z = 800 x 1 + 1000 x 2 = 800 ? 0 +

= 0, x 2 = 30), z = 800 x 1 + 1000 x 2 = 800 ? 0 + 1000 ? 30 = 30 000 ;

= 30, x 2 = 20), z = 800 x 1 + 1000 x 2 = 800 ? 30 + 1000 ? 20 = 44 000 ;

• C ( x 1 = 40, x 2 = 10), z = 800 x 1 + 1000 x 2 = 800 ? 40 + 1000 ? 10 = 42 000 ;

• D ( x 1 = 40, x 2 = 0), z = 800 x 1 + 1000 x 2 = 800 ? 40 + 1000 ? 0 = 32 000 .

Видим, что наибольшую выручку (44 000 руб.) обеспечит план B ( x 1 = 30, x 2 = 20), по которому нужно произвести 30 единиц продукции A

и 20 единиц продукции Б.

Для продолжения скачивания необходимо собрать картинку:

Источник:

studfiles.net

Методы оптимальных решений (стр

Методы оптимальных решений (стр. 1 )

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

В учебном пособии представлены модели линейного программирования, применяемые для принятия оптимальных экономических решений. Представлен краткий теоретический материал, приведены примеры и упражнения для контроля усвоения изучаемых тем. Имеются задачи для индивидуального самостоятельного решения.

Рекомендуется для студентов экономических специальностей и направлений.

По мере развития общества большое внимание уделяется совершенствованию экономических отношений в аспекте оптимального использования производительных сил, всех материальных и трудовых ресурсов, исследованию теоретических основ оптимальности экономических процессов и условий их осуществления. Экономисты и математики, занимающиеся вопросами применения математики в экономике, большое внимание уделяют разработке математических методов построения оптимальных планов, обеспечивающих выпуск необходимой продукции при минимальных затратах труда. Изучение закономерностей наиболее рационального распределения и использования ресурсов производства, выяснение условий и свойств оптимальности различных производственно-экономических процессов потребовало точного количественного выражения затрат и результатов производства, поставило вопрос конкретизации представлений о закономерностях общественного производства, о более точном выражении его важнейших экономических категорий. Экономико-математическое моделирование, является одним из эффективных методов описания сложных социально-экономических объектов и процессов, позволяющих овладеть искусством принятия управленческих и инвестиционно-финансовых решений, распределения и оптимизации ресурсов, анализа и обработки данных и прогнозирования последствий.

В связи с этим следует выделить класс оптимизационных моделей, связанных с выбором наилучшего варианта из множества возможных вариантов производства, распределения, потребления и т. д. Определение оптимального варианта текущего и перспективного развития связано с решением задач оптимизации, имеющих большую размерность и множество разнообразных условий и ограничений. Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции, максимум или минимум которой необходимо найти, так и от вида ограничений.

1. виды ЗАДАЧ

Линейное программирование представляет собой раздел математики, занимающийся изучением оптимальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными и разработкой методов их решения.

1.1. Задача об использовании ресурсов

(задача планирования производства)

Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют три вида ресурсов S1, S2, S3. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в табл. 1.

Число единиц продукции, затрачиваемых на изготовление единицы продукции

Прибыль, получаемая от единицы продукции Р1 и Р2 соответственно 2 и 3 д. е. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальной.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через х1, х2 – количество единиц продукции Р1 и Р2 соответственно. Тогда суммарная прибыль F составит 2x1 д. е. от реализации продукции Р1 и 3х2 д. е. от реализации продукции Р2, то есть

Поскольку количество ресурсов, необходимых для производства продукции ограниченно, составим систему ограничений по ресурсам. Для изготовления продукции потребуется (2x1 + 3x2) единиц ресурса S1, 3x1 единиц ресурса S2 и (x1 + 4x2) единиц ресурса S3. Так как потребление ресурсов S1, S2, S3 не должно превышать их запасов, 20, 18, 10 единиц, соответственно, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой ограничений неравенств:

(2)

Итак, экономико-математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции , удовлетворяющий системе ограничений (2), при котором целевая функция (1) принимает максимальное значение.

Задачу об использовании ресурсов можно обобщить на случай выпуска n видов продукции с использованием m видов ресурсов.

Обозначим через x (j = 1, 2,…,n) – число единиц продукции Pj, запланированной к производству; b1 (i = 1, 2,…,m) – запасы ресурсов Si, aij – число единиц ресурса Si, затрачиваемого на изготовление единицы продукции Pj; cj – прибыль от реализации единицы продукции Pj. Тогда экономико-математическая модель задачи в общей постановке примет вид:

(3)

(4)

Найти такой план выпуска продукции, удовлетворяющий системе (4), при котором функция (3) принимает максимальное значение.

Замечание. Данную задачу называют ещё задачей определения оптимального ассортимента продукции.

1.2. Задача о составлении рациона

(задача о диете, задача о смесях)

Имеется два вида продукции П1 и П2, содержащие питательные вещества S1, S2, S3, S4 (жиры, белки, углеводы, витамины). Содержание числа единиц питательных веществ в единице каждого вида продукции и необходимый минимум питательных веществ приведены в табл. 2.

Число единиц питательных веществ в единице продукции

Необходимый минимум питательных веществ

Стоимость единицы продукции П1 и П2 соответственно равна 3 и 4 д. е.

Решение. Обозначим через х1 и х2 – количество продукции П1 и П2, входящей в дневной рацион. Тогда общая стоимость рациона составит (д. е.)

С учетом необходимого минимума питательных веществ составим систему ограничений. Рацион включает (x1 + 2x2) единиц питательного вещества S1, (3x1 + 2x2) единиц питательного вещества S2, (2x1 + x2) единиц питательного вещества S3 и (2x1 + 2x2) единиц питательного вещества S4. Так как содержание питательных веществ S1, S2, S3, S4 в рационе должно быть не менее 10, 8, 9, 11 единиц, соответственно, то получим систему ограничений неравенств:

(6)

Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион , удовлетворяющий системе ограничений (6), при котором функция (5) принимает минимальное значение.

Сформулируем данную задачу в общей постановке.

Обозначим через xj (j = 1, 2,…, n) – количество единиц j-го продукта в дневном рационе. В рационе используется n видов продуктов. Каждый продукт содержит m питательных веществ в количестве не менее bi (i = 1,2,…,m) единиц, aij – число единиц питательного вещества si в единице продукта j-го вида. Известна стоимость cj единицы j-го продукта. Необходимо составить рацион нужной питательности при минимальных затратах на него.

Экономико-математическая модель примет вид:

(7)

(8)

Замечание 1. Целевую функцию (7) и систему ограничений неравенств можно записать, используя знак (суммы).

(9)

(10)

Замечание 2. В задаче составления рациона (диеты, кормовой смеси) могут использоваться ограничения не только по необходимому минимуму питательных веществ, но и по минимальному общему весу смеси.

Например. Некоторая фирма имеет возможность купить n различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных веществ. Установлено, что продукция должна удовлетворять некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Необходимо определить количество каждого j-го вида сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и её питательность.

Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

,

при ограничениях: на общий расход смеси

на питательность смеси

на неотрицательность переменных

где xj – количество j-го сырья в смеси;

n – количество видов сырья;

m – количество питательных веществ;

aij – количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице j-го вида сырья;

b1 – минимальное количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице смеси;

cj – стоимость единицы сырья j;

q – минимальный общий вид смеси.

1.3. Задача о раскрое материалов

Данная задача состоит в разработке такого плана, который обеспечивает необходимый комплект изделий при минимальных отходах (по длине, площади, массе, стоимости и др.) при раскрое материалов или обеспечивает максимальное число комплектов изделий.

Пример 1. Требуется разработать оптимальный план раскроя стандартных листов стали, обеспечивая выход планового числа заготовок разного вида при минимальных суммарных отходах, если известно, что из партии листовой стали необходимо нарезать четыре вида различных заготовок в количестве bi (i = 1, 2,…,4) штук. Лист стали стандартных размеров может быть раскроен четырьмя способами. Каждому возможному способу раскроя соответствует карта раскроя. Из карт раскроя известен выход заготовок в штуках разных видов aij (i = 1, 2,…4; j = 1,2,…,4), а также площадь отходов cj (j = 1, 2,…,n) при раскрое одного листа стали по j-му способу раскроя. Какое количество листов стали необходимо раскроить тем или иным способом, чтобы отходы были минимальными?

План-задание по количеству заготовок (b1)

Выход заготовок (шт) разных видов

из карт раскроя (aij)

Площадь отходов, м2

Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через xj – количество исходного материала (листов стали), которые необходимо раскроить по одному из способов j. Ограничения в задаче должны соответствовать плановому выходу заготовок различных видов. Целевая функция сводиться к нахождению минимума отходов при раскрое

.

Ограничения по выходу заготовок i-го вида по всем j способам раскроя:

Пример 2. На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве a единиц. Требуется изготовить из него l разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам b1, b2,…,bl (условие комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, причем использование i-го способа (i = 1, 2,…,n) дает aik единиц k-го изделия (k = 1, 2,…,l). Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через xi – число единиц материала, раскраиваемых i-ым способом, и x – число изготавливаемых комплектов изделий. Тогда целевая функция сводиться к нахождению

,

при ограничениях: по общему количеству материала равного сумме его единиц, раскраиваемых различными способами; по требованию комплектности и не отрицательности переменных.

1.4. Задача об использовании мощностей

Предприятию задан план производства продукции по времени и номенклатуре. Требуется за время t выпустить n1, n2,…,nk единиц продукции p1, p2,…,pk Продукция производится на станках s1, s2,…,sm. Для каждого станка известны производительность aij, то есть число единиц продукции pj, которые можно произвести на станке si и затраты bij на изготовление продукции pj на станке si в единицу времени. Необходимо составить такой план работы станков, чтобы затраты на производство всей продукции были минимальными.

Обозначим через xij – время, в течении которого станок будет занят изготовлением продукции pj (i = 1, 2,…,m; j = 1, 2,…,k) Тогда затраты на производство всей продукции выразятся функцией

по времени работы каждого станка, которое не превышает величины t

по номенклатуре и не отрицательности переменных

1.5. Задача о банке

Пусть собственные средства банка в сумме с депозитными составляют 100 млн д. е.. Часть этих средств, но не менее 35 млн д. е., должна быть размещена в кредитах. Кредиты должны быть неликвидными активами банка, так как в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно. Другое дело ценные бумаги, особенно государственные. Их можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль или, во всяком случае, без большого убытка. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции ликвидные активы – ценные бумаги, чтобы компенсировать не ликвидность кредитов. В нашем примере ликвидное ограничение таково: ценные бумаги должны составлять не менее 50% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах. Составим математическую модель задачи. Обозначим через x1 – средства в млн д. е., размещенные в кредитах, x2 – средства, вложенные в ценные бумаги. Цель банка состоит в том, чтобы получить максимальную прибыль от кредитов и ценных бумаг

где c1 – доходность кредитов;

Так как кредиты менее ликвидны, чем ценные бумаги, то обычно . Учитывая балансовое, кредитное и ликвидное ограничения, получим систему ограничений неравенств

Замечание. Система ограничений, в зависимости от условий задачи, может содержать не только линейные неравенства, но и линейные уравнения.

2. ОБЩАЯ И ОСНОВНАЯ ЗАДАЧИ

Рассмотренные выше примеры задач линейного программирования позволяют сформулировать общую задачу линейного программирования.

Определение. Общей ЗЛП называется задача, которая состоит в определении оптимального (максимального или минимального) значения линейной функции

, (11)

(12)

Функция (11) называется целевой функцией ЗЛП, а условия (12)- ограничениями ЗЛП.

Определение. Совокупность чисел , удовлетворяющих ограничениям ЗЛП, называют допустимым решением (или планом).

Определение. Оптимальным решением ЗЛП называют допустимое решение , при котором целевая функция принимает максимальное или минимальное значение.

Определение. Основной (или канонической) ЗЛП называется задача, которая состоит в определении оптимального значения целевой функции, при условии, что система ограничений представлена в виде системы уравнений

,

Определение. Стандартной (или симметричной) ЗЛП называется задача, которая состоит в определении оптимального значения целевой функции, при условии, что система ограничений представлена в виде системы неравенств

при ограничениях

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧ

Рассмотрим ЗЛП с двумя переменными:

Каждое неравенство системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми ai1x1 + ai2x2 = bi, (i = 1,2,…,m). Условие неотрицательности определяют полуплоскости с граничными прямыми x1 = 0, x2 = 0. Если система неравенств совместна, то область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Совокупность этих точек будем называть многоугольником решений или областью допустимых решений (ОДР) ЗЛП. Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки равенств (граничные прямые).

Областью допустимых решений системы неравенств могут быть:

– выпуклая многоугольная неограниченная область;

Целевая функция L определяет на плоскости семейство параллельных прямых, каждой из которых соответствует определенное значение L. Целевая функция без свободного члена c1x1 + c2x2 = 0, проходит через начало координат и называется основной прямой. Вектор перпендикулярный этой прямой, указывает направление наискорейшего возрастания L, а противоположный вектор – направление убывания L.

Таким образом, геометрическая интерпретация ЗЛП заключается в нахождении (построении) многоугольника решений, каждая точка которого является допустимым решением ЗЛП. Среди этого множества решений надо отыскать точку многоугольника решений, координаты которой обращают в min или max целевую функцию.

Теорема. Если ЗЛП имеет оптимальный план, то целевая функция задачи принимает свое оптимальное значение в одной из вершин многоугольника решений.

Для определения данной вершины строится L = 0, проходящая через начало координат и перпендикулярно вектору , и передвигается в направлении этого вектора до тех пор, пока она не коснется последней крайней точки многоугольника решений. Координаты полученной точки определяют максимальное значение целевой функции L и максимальный план данной задачи.

Нахождение минимального значения L отличается от нахождения ее максимального значения лишь тем, что L = 0 передвигается не в направлении вектора , а в противоположном направлении.

Если в направлении вектора многоугольник решений неограничен, то .

3.2. Графический метод решения задач

Графический метод основан на геометрической интерпретации ЗЛП и включает следующие этапы:

– строят граничные прямые, уравнения которых получают в результате замены в системе ограничений ЗЛП знаков неравенств на знаки точных равенств;

– находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений неравенств ЗЛП;

– находят многоугольник решений (область допустимых решений);

– строят основную прямую с1x1 + c2x2 = 0, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору ;

– перемещают прямую L = 0 в направлении вектора или в противоположном направлении вектора . В результате находят точку (точки), в которой целевая функция принимает оптимальное решение, либо устанавливают неограниченность функции на множестве планов.

Обзоры сервисов Pandia.ru

Проекты по теме:

Домашний очаг Справочная информация Общество Образование и наука Бизнес и финансы Досуг Технологии Инфраструктура Товары

Мнение редакции может не совпадать с мнениями авторов.

Источник:

pandia.ru

Методы оптимальных решений. Учебное пособие в городе Казань

В этом каталоге вы можете найти Методы оптимальных решений. Учебное пособие по разумной стоимости, сравнить цены, а также посмотреть прочие книги в группе товаров Бизнес и экономика. Ознакомиться с свойствами, ценами и обзорами товара. Транспортировка может производится в любой город России, например: Казань, Уфа, Новосибирск.